【动态规划】【前缀和】【数学】2338. 统计理想数组的数目

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本文涉及知识点

动态规划汇总
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LeetCode:2338. 统计理想数组的数目

给你两个整数 n 和 maxValue ，用于描述一个 理想数组 。
对于下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 arr ，如果满足以下条件，则认为该数组是一个 理想数组 ：
每个 arr[i] 都是从 1 到 maxValue 范围内的一个值，其中 0 <= i < n 。
每个 arr[i] 都可以被 arr[i - 1] 整除，其中 0 < i < n 。
返回长度为 n 的 不同 理想数组的数目。由于答案可能很大，返回对 109 + 7 取余的结果。
示例 1：
输入：n = 2, maxValue = 5
输出：10
解释：存在以下理想数组：

• 以 1 开头的数组（5 个）：[1,1]、[1,2]、[1,3]、[1,4]、[1,5]
• 以 2 开头的数组（2 个）：[2,2]、[2,4]
• 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3]
• 以 4 开头的数组（1 个）：[4,4]
• 以 5 开头的数组（1 个）：[5,5]
  共计 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 个不同理想数组。
  示例 2：
  输入：n = 5, maxValue = 3
  输出：11
  解释：存在以下理想数组：
• 以 1 开头的数组（9 个）：
  • 不含其他不同值（1 个）：[1,1,1,1,1]
  • 含一个不同值 2（4 个）：[1,1,1,1,2], [1,1,1,2,2], [1,1,2,2,2], [1,2,2,2,2]
  • 含一个不同值 3（4 个）：[1,1,1,1,3], [1,1,1,3,3], [1,1,3,3,3], [1,3,3,3,3]
• 以 2 开头的数组（1 个）：[2,2,2,2,2]
• 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3,3,3,3]
  共计 9 + 1 + 1 = 11 个不同理想数组。
  提示：
  2 <= n <= 10⁴
  1 <= maxValue <= 10⁴

动态规划

令 m =maxValue

直接动态规划超时

dp[i][j]记录 长度为i，以j结尾的子序列数量。状态数：O(mn)，每种状态转移的时间复杂度:O($\sqrt{m}$)。约10¹⁰，超时。

预处理

vNext[i]包括x，表示x被i整除，且大于i，且<=maxValue。此部分的时间复杂度 和空间复杂度都是O(m$\sqrt{m}$)。

动态规划除重后的数量

除重后，最大长度14 {2⁰,2¹ ,$\cdots$,2^13}，令p= 14。
dp1[i][j] 记录除重后，长度为i，以j结尾的数量。空间复杂(qm) 转移所有dp[i]的时间复杂度:O(m$\sqrt{m}$)，总时间复杂度：O(nm$\sqrt{m}$)
dp[0]忽略，dp[1][0]为0，其它为1。
通过前者状态更新后置状态。 $Fo{r}_{x:vNext[j]}$dp[i][x] += dp[i][j]

动态规划

dp2[i][j] 从i个不同的数中选择j个数的选择数量，每个数至少选择一个。枚举后置状态。
$$dp[i][j]=\sum _{x:1}^{j}dp[i-1][j-x]$$
必须通过前缀和优化，否则时间复杂度(qnn)，超时。

返回值

$$\sum _{x:1}^q(\sum (dp1[x])\star (\sum (dp2[x]))$$

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD)
	{

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)
	{
		return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(long long n)const
	{
		C1097Int iRet = 1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	int ToInt()const
	{
		return m_iData;
	}
private:
	int m_iData = 0;;
};

class Solution {
public:
	int idealArrays(int n, int maxValue) {
		vector<vector<int>> vNext(maxValue + 1);
		for (int i = 1; i <= maxValue; i++)
		{
			for (int j = i * 2; j <= maxValue; j += i)
			{
				vNext[i].emplace_back(j);
			}
		}
		const int q = 14;
		vector<vector<C1097Int<> >> dp1(q + 1, vector<C1097Int<> >(maxValue + 1));
		dp1[1].assign(maxValue + 1,1);
		dp1[1][0] = 0;
		for (int i = 1; i < q; i++)
		{
			for(int j = 0 ; j <= maxValue; j++ )
			{ 
				for (const auto& next : vNext[j])
				{
					dp1[i + 1][next] += dp1[i][j];
				}
			}
		}

		vector<vector<C1097Int<> >> dp2(q + 1, vector<C1097Int<> >(n + 1));
		dp2[0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= q; i++)
		{
			C1097Int biSum = dp2[i - 1][0];
			for (int j = 1; j <= n; j++)
			{				
				dp2[i][j] = biSum;
				biSum += dp2[i - 1][j];
			}
		}

		C1097Int biRet;
		for (int i = 1; i <= q; i++)
		{
			biRet += std::accumulate(dp1[i].begin(),dp1[i].end(),C1097Int())* dp2[i].back();
		}
		return biRet.ToInt();
	}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	int n,  maxValue;
	{
		Solution sln;
		n = 2, maxValue = 5;
		auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
		Assert(res,10);
	}

	{
		Solution sln;
		n = 5, maxValue = 3;
		auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
		Assert(res, 11);
	}
	{
		Solution sln;
		n = 1000, maxValue = 1000;
		auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
		Assert(res, 91997497);
	}
	{
		Solution sln;
		n = 10000, maxValue = 10000;
		auto res = sln.idealArrays(n, maxValue);
		Assert(res, 22940607);
	}
		
}

2023年2月

class Solution {
public:
int idealArrays(int n, int maxValue) {
m_n = n;
m_vPosNeedSel.assign(n + 1, vector(20, 0));
m_vPosNeedSel[1].assign(20,1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j < 20; j++)
{
//全部选择第一个位置
m_vPosNeedSel[i][j] += 1;
//第一个位置选择k个
for (int k = 0; k < j; k++)
{
m_vPosNeedSel[i][j] += m_vPosNeedSel[i - 1][j-k];
}
}
}
for (int i = 1; i <= maxValue; i++ )
{
Do(i);
}
return m_iRet.ToInt();
}
void Do(int i)
{
C1097Int aNum = 1 ;
for (int j = 2; j*j <= i; j++)
{
int iNumj = 0;
while (0 == i% j)
{
iNumj++;
i /= j;
}
aNum *= m_vPosNeedSel[m_n][iNumj];
}
if (i > 1)
{
aNum *= m_vPosNeedSel[m_n][1];
}
m_iRet += aNum;
}
vector m_vPosNeedSel;
int m_n;
C1097Int m_iRet = 0;
};

扩展阅读

视频课程

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。