01.集合、映射与函数

主要知识点

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集合

定义：具有某一个特定属性的、确定的、有区别的事务(不论是抽象的还是具体的)的全体称为集合，集合中的事物称为元素

若a是集合A中的元素,记为a∈A

若a不是集合A中的元素，记作a∉A

集合的特性：

• 确定性:给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。

• 互异性:一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。

• 无序性:一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的

集合之间的包含关系

对两个集合A和B，如果对任意的x∈A，都有x∈B成立，那么称A包含于B（或B包含A），记做A⊆B，此时称A是B的子集；若 ∈B且x∉A,则A是B的真子集，记为AB
例如：A={1,2,3,4,5}，B={1,2,3,4,5,6,7}则AB，A是B的真子集

映射

定义:假设两个非空集合X、Y，存在一个法则f，使得对X中的每个元素x,按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射;记作 f:

• b称为元素a在映射f下的象，记为b=f(a)
• a称为元素b在映射f下的一个原象
• A称为映射f的定义域，记作
• A中所有元素的象所组成的集合称为映射f的值域，记作
  =f(A)={ f(a) | a∈A}

映射三要素：定义域，值域，对应法则

• 定义域：=A
• 值域： B;值域只是B的一个子集
• 对于每个a∈A，元素a的象b唯一；但是元素b的原象不一定唯一，可能存在多个原象

满射：设f是集合A到集合B的映射，满足=B；即B里的所有元素都能在A中找到原象
单射：对于A中任意两个不同的元素，若a1≠a2，则f(a1)≠f(a2)
因此，一一映射既是单射又是满射，称为双射。
逆映射：设 f：A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样得到的映射称为 映射 f：A→B的逆映射，记作 f：B→A。必须是一一对应的单射才能满足。

函数

定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征

反函数：设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f(y) 。反函数x=f(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
函数的特性：单调性、奇偶性、周期性

• 奇偶性：奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称；偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于原点对称
• 周期性：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

基本初等函数

• 幂函数：y=x（α为有理数）的函数
• 指数函数：y=a (a>0,且a≠1)
• 对数函数：函数y=log（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
• 三角函数：
• 反三角函数：