线段树简单笔记

一 经典线段树

结构：权值为[L,R]的区间和
int L,R,sum;
操作1 单点修改O（logn）
递归找到相应叶子节点，回溯时修改父节点（两个儿子总和）
操作2 区间查询O(logn)
左右两边递归，递归边界为左右两边都被包含，累加其权值
最坏耗时4logn
区间修改需要懒标记，蓝桥杯一般考不到，即使考到也是特殊区间修改，用不到

函数
1 pushup 用子节点信息更新当前节点信息
2 build 在一段区间上初始化线段树
3 modify 单点修改
4 query 区间查询

静态链表存储，空间复杂度最坏4N
x父节点x/2,左儿子x<<1，右儿子x<<1|1(偶数最后一位肯定是0，或上1能加一)

pushup(int u)
{
    tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1+1].sum;
}

build(int u,int l,int r)//u为当前下标，l、r为区间的左右边界
{
    if(l==r) tr[u]={l,r,w[r]}//易错，w[r];
    else
    {
        tr[u]={l,r};//易错
        int mid=(l+r)>>1;  //括号不加也行，加号优先级比移位高
        build(u<<1,l,mid),build(u<<1    |1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
    
}
主函数build(1,1,n)

query(int u,int l,int r)//查询tr[u]对区间[l,r]的区间和的贡献值
{
    if(tr[u].l>=l && tr[r]<=r) return tr[u].sum;
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;//易错
    int sum=0;
    if(l<=mid) sum+=query(u<<1,l,r);//sum初值是0，加不加都行
    if(r>mid) sum+=query(u<<1|1,l,r);//易错
    return sum;
}

modify(int u,int x,int v)//将节点x的值增加v，当前节点为u
{
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].sum+=v;
    else
    {
        int mid=(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);//易错
        else modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);    
    }    
}

易错点：

build中if(l==r) tr[u]={l,r,w[r]}不要顺手写成w[u]

query中if(r>mid) sum+=query(u<<1|1,l,r);要明白l,r的含义，tr[u]是[l,r]对此区间的贡献值，不能更改l,r

query的mid是由tr[u]求出的，if语句是l与mid判断，最后别忘了return sum

modify中if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);，大小关系不要写错

build要在主函数输入w[i]后写出来！

modify最后else别忘了pushup

#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct tree{
    int l,r,sum;
}tr[4*N];
int w[N];
void pushup(int u){
    tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;
}
void build(int u,int l,int r){
    if(l==r)    tr[u]={l,r,w[r]};
    else{
        tr[u]={l,r};
        int mid=(l+r)>>1;
        build(u<<1,l,mid);
        build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}
int query(int u,int l,int r){
    if(tr[u].l>=l && tr[u].r<=r){
        return tr[u].sum;
    }
    int sum=0;
    int mid=(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
    if(l<=mid) sum=query(u<<1,l,r);
    if(r>mid) sum+=query(u<<1|1,l,r);
    return sum;
}
void modify(int u,int x,int v){
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].sum+=v;
    else{
        int mid=(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",w+i);
    }
    build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int k,a,b;
        scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);
        if(!k)  printf("%d\n",query(1,a,b));
        else modify(1,a,b);
    }
    
    return 0;
}

二 求最大值

线段树的sum变成maxv即可，build等处相应改一下

pushup变成tr[u].maxv=max(tr[u<<1].maxv,tr[u<<1|1].maxv)即可

query变为

int query(int u,int l,int r){
    if(tr[u].l>=l && tr[u].r<=r) return tr[u].maxv;
    int mid=(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
    int maxv=-0x7f7f7f7f;//负无穷
    if(l<=mid) maxv=query(u<<1,l,r);
    if(r>mid) maxv=max(maxv,query(u<<1|1,l,r));
    return maxv;
}

注意负无穷0x80000000

正无穷0x7fffffff

易错点：build主函数要写，而且要写在w[i]输入完毕后

query初始化负无穷0x8000000

query递归l与r不能变！

#include
const int N=1e5+10;
struct Tree{
    int l,r,maxv;
}tr[N*4];
int w[N];
#define forN(N) for(int i=1;i<=(N);i++) 
inline int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
void pushup(int u){
    tr[u].maxv=max(tr[u<<1].maxv,tr[u<<1|1].maxv);
}
void build(int u,int l,int r){
    tr[u]={l,r};
    if(l==r) tr[u].maxv=w[l];
    else{
        int mid=(l+r)>>1;
        build(u<<1,l,mid);
        build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}
int query(int u,int l,int r){
    if(tr[u].l>=l && tr[u].r<=r){
        return tr[u].maxv;
    }
    int mid=(tr[u].l+tr[u].r)>>1;
    int maxv=-0x80000000;
    if(l<=mid) maxv=query(u<<1,l,r);
    if(r>=mid+1) maxv=max(maxv,query(u<<1|1,l,r));
    return maxv;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    forN(n) scanf("%d",w+i);
    build(1,1,n);
    forN(m){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",query(1,x,y));
    }
    return 0;
}

三 求第k大（权值线段树）

线段树的sum变成cnt（这个数出现了多少次），维护的是一段值域中数出现的个数（值域太大的话或许可以离散化）

详解权值线段树 - Seaway-Fu - 博客园 (cnblogs.com)

理解思想之后并不难