袁亚湘院士上《开讲啦》变数学魔术啦！

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上个月中，我敬仰已久的袁亚湘院士登上了央视《开讲啦》的舞台，给刚开学不久的孩子们献上了精彩的演讲，演讲全程大家可看视频慢慢欣赏：

视频1 袁亚湘院士《开讲啦》演讲

袁老师是知名的最优化理论的专家，在我还在读大三的时候，还曾通过天大数学系黄老师介绍，邮件联系袁老，想找他去读最优化方向的研究生。无奈专业差距太大，在流程上也几乎走不通，不过袁老师还是耐心地给我回了信，并且给了我很多鼓励。经历虽有遗憾，但还是备受鼓舞。

8年时间过去了，当再次在屏幕前见到袁老，我已经通过数学在互联网里摸爬滚打良久，并且拓展出令我自豪的数学魔术这个终身的爱好，虽然没有能成为一个正统的数学研究人员，但现在的我感觉一定是更好的随心的状态。

在袁老师《开讲啦》的演讲中，开场竟然表演了两个数学魔术，这是令我有些惊讶的。因为我一直没能真正迈进数学的科班殿堂，总认为自己爱好的，研究的，在大师们看来，有些业余和不得要领，是小儿科。但是，从他的表演和分享的内容看，数学魔术不仅有魅力，而且我也依旧觉得自己能在这个领域能开拓更多的内容。

趁这个机会，和大家聊聊这两个简单的小魔术和背后可深可浅的数学原理。

听牌术

第一个魔术，姑且称作听牌术吧，效果是通过耳朵听出观众选的牌。数学上的点是，我们要设计出一个牌序（本质上是一个有限长的数列，在计算机上的模型是数组），根据前面若干张牌，能够有一个轻松计算的递推关系式推导出下一张是什么。不同于一般的序的相邻关系，我们甚至要求这是个牌环，也就是说，该关系除了对物理相邻的两张牌管用，对首尾两张牌也是一样。而这样的牌序显然有很多种，比如扑克牌的出厂顺序就是一种，甚至任何一个洗乱的牌叠都是，只是它的递推关系写不出很好的解析式来计算罢了。

在我们把牌叠视作环以后，那一叠52张的牌的结构就是一个C52群，二切牌操作相当于去旋转一个正52边形，使得它的顶部位置的牌改变，但其不会超出52种可能，其整个相邻关系也从未被破坏过。这便是袁老师在演讲中提到的和群的关系，我们是用群的结构来建模了二切牌这样操作带给扑克牌变化的规律，得到了这样本质的理解。

而我们在魔术中选的牌是顶牌，其前一张关系的牌是底牌，刚好能露出来被轻松地看见，浑然天成。

在演讲中，袁老师说牌序是自己设计的，还借鉴了张继平老师的想法。视频里的牌序我看不太清楚，但据我所研究，一个递推牌序要在魔术层面成立，基本要求就是计算放方便，以及表面上看，不能有太明显的规律。目前我知道的大体有两种：

1. Si Stebbins Stack为基础的一系列牌序。得益于花色和点数的周期4和13互质，因此我们只要找到任何其内的满阶操作，比如任何和n互质的递增量，就可以遍历整个52张牌，这是直积的性质，计算过程也是及其简单，仅仅是花色点数各加一个常数而已。

2. Richard Osterlind Stack。这个牌序是递推牌序的经典作品，用到了花色和点数两个性质交互起来去计算下一张牌的策略，计算稍微有点复杂，用到了mod运算，整除等，但是可以用口诀来解决。不过这点复杂度是值得的，因为它看起来完全没有规律，就像是真的打乱的扑克牌叠一样。不过，最为神奇的是，这里每次加减所乘以的系数有很多组解，都能够使得整个扑克牌叠能够完成遍历。从群的角度看，这些运算式子代表的递推关系都是满阶的，但为什么这样，我还在研究中。

当然还有那种利用牌叠的双周期性构造的作弊序列等等，总之我们需要去找到一个在C52群里的操作，确保它是满阶的，而且，从花色和点数这两个mod13和4的结果来看，并看不出什么明显的规律就是了。

不过，袁老师表演的时候，为了突出数学特性，一开始就说，牌序是特殊设计的，这就犯了魔术大忌了，不过把看牌计算演绎成听牌，倒是一个不错的想法，咱不能对数学家要求那么多魔术啦！

关于这部分内容，我曾经在《序列周期性与魔术（二）——扑克牌叠里的周期性》系列文章种阐述过相关内容，有兴趣的同学可以回顾下。

扑克感应

再说第二个魔术，姑且称之为《扑克感应》好了，袁老师成功感应了撒贝宁数到的牌，说是小学三年级的水平。用到的是最基础的加减运算就能说清楚的数学原理。基本原理上讲，我们可以用自然数来表达包括扑克牌在内的任意数量多少以及一个排列上的位置，这是基数的计数方法以及在排列结构上的序数转化。然后我们利用3张牌的点数作了一个记忆，使得每个补齐的张数和最后加上去的张数一定是10，这样相当于在30张以后又数掉30张，对于54张的扑克牌叠来说，超出了6张，再算上拿走的这3张，就是9张，这正是一开始所数牌叠的第9张。这里魔术之所以能够成立，用到的是数牌对应的这些加法操作的交换律和结合率的性质，使得这样的打乱相加顺序并不会改变最后的结果，选的牌是什么点数也无所谓，实际上对应的是同一个集合的不同划分，并不影响集合本身。当然，说到底，可以把这个看作是一个对称或者常量的原理，或者是个特殊的恒等式：扑克牌张数是常数，最后落在的牌的索引也是常数，因此最后的结局是个定值。

关于加减互为逆运算的原理，以及这里的常量，恒等式的原理，我在之前的文章中都详细阐述过，后来经过整理修缮后也发表在了《数学文化》杂志上，欢迎大家回顾相关内容：

加减互逆的性质：

加加减减的奥秘——从数学到魔术的思考（三）

常函数等函数性质：

魔术里的集合、映射和关系（十）——天才之作《Tiny Berglas Effect》

恒等式原理：

当代数恒等式遇上魔术（二）

好了，数学魔术暂时分享到这里，袁老师后面的演讲还谈到了很多关于数学学习和教育的话题，值得我们每一个同学学习，思考。而他表演的数学魔术只是一个很小的引子，这里面还有太多值得探讨和研究的智慧，期待日后继续和大家在MatheMagician继续分享！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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