P9976 [USACO23DEC] Farmer John Actually Farms B 题解
伟大的不等式组。
令
�
�
(
�
)
d
i
(x) 表示第
�
i 个植物经过
�
t 天后的高度，有：
�
�
(
�
)
=
ℎ
�
+
�
×
�
�
d
i
(x)=h
i
+t×a
i
根据
�
t 的定义，若用
�
�
p
i
表示 FJ 希望长到第
�
i 高的植物，易得，对于
1
≤
�
≤
�
1≤x≤n：
�
�
�
+
1
=
�
p
t
x
+1
=x
那么，若最少经过
�
k 天后满足 FJ 的要求，显然有
�
�
1
(
�
)
>
�
�
2
(
�
)
>
⋯
>
�
�
�
(
�
)
d
p
1
(k)>d
p
2
(k)>⋯>d
p
n
(k)，即：
{
�
�
1
(
�
)
>
�
�
2
(
�
)
�
�
2
(
�
)
>
�
�
3
(
�
)
⋯
�
�
�
−
1
(
�
)
>
�
�
�
(
�
)
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
d
p
1
(k)>d
p
2
(k)
d
p
2
(k)>d
p
3
(k)
⋯
d
p
n−1
(k)>d
p
n
(k)
分开来说，对于排名相邻的两个植物
�
=
�
�
x=p
i
和
�
=
�
�
+
1
y=p
i+1
，有
�
�
(
�
)
>
�
�
(
�
)
d
x
(k)>d
y
(k)，即
ℎ
�
+
�
×
�
�
>
ℎ
�
+
�
×
�
�
h
x
+k×a
x
>h
y
+k×a
y
，化简得：
(
�
�
−
�
�
)
�
>
ℎ
�
−
ℎ
�
(a
x
−a
y
)k>h
y
−h
x
分类讨论
�
�
−
�
�
a
x
−a
y
的正负：
当
�
�
−
�
�
>
0
a
x
−a
y
>0，即
�
�
>
�
�
a
x
>a
y
时，有
�
>
ℎ
�
−
ℎ
�
�
�
−
�
�
k>
a
x
−a
y
h
y
−h
x
；
当
�
�
−
�
�
<
0
a
x
−a
y
<0，即
�
�
<
�
�
a
x
时，有
�
<
ℎ
�
−
ℎ
�
�
�
−
�
�
k<
a
x
−a
y
h
y
−h
x
；
当
�
�
−
�
�
=
0
a
x
−a
y
=0，即
�
�
=
�
�
a
x
=a
y
时，有
0
>
ℎ
�
−
ℎ
�
0>h
y
−h
x
，即
ℎ
�
>
ℎ
�
h
x
>h
y
：
若
ℎ
�
>
ℎ
�
h
x
>h
y
，
�
∈
�
k∈R；
反之，若
ℎ
�
≤
ℎ
�
h
x
≤h
y
，无解。
此时我们得到了
�
−
1
n−1 个不等式。其中，有
�
1
l
1
个不等式
�
k 大于某值，
�
2
l
2
个不等式
�
k 小于某值，
�
3
l
3
个结果
�
∈
�
k∈R，以及
�
4
l
4
个无解。
若
�
4
>
0
l
4
>0，显然无解，输出
−
1
−1。由于
�
∈
�
k∈R，可以忽略所有
�
3
l
3
个结果。接下来考虑剩余的
�
1
l
1
个
�
>
�
1
�
k>q1
i
和
�
2
l
2
个
�
<
�
2
�
k
。那么，根据初中课本中的「同大取大，同小取小」，易得
�
>
max
(
�
1
�
)
k>max(q1
i
) 及
�
<
min
(
�
2
�
)
k
)。合并，得：
max
(
�
1
�
)
<
�
<
min
(
�
2
�
)
max(q1
i
)
)
若
max
(
�
1
�
)
<
min
(
�
2
�
)
max(q1
i
)
)，且区间
(
max
(
�
1
�
)
,
min
(
�
2
�
)
)
(max(q1
i
),min(q2
i
)) 中至少含有
1
1 个正整数，则
�
=
⌊
max
(
�
1
�
)
⌋
+
1
k=⌊max(q1
i
)⌋+1；
反之，则无解。
时间复杂度
�
(
�
⋅
�
)
O(T⋅n)。
#include
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2e5 + 5, M = 1e9 + 5;
int T, n, h[N], a[N], t[N], p[N];
double q1 = -1, q2 = N;
int work() {
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>h[i];
for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i];
for(int i = 1; i <= n; i++) {
cin>>t[i];
p[t[i] + 1] = i;
}
if(n == 1) return 0;
q1 = -1, q2 = M;
for(int i = 1; i < n; i++) {
int x = p[i], y = p[i + 1];
if(a[x] > a[y]) q1 = max(q1, 1.0 * (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y]));
else if(a[x] < a[y]) q2 = min(q2, 1.0 * (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y]));
else if(h[x] <= h[y]) return -1;
}
if(q1 < q2) {
double r = floor(q1) + 1;
if(r < q2) return r;
else return -1;
} else return -1;
}
signed main() {
cin>>T;
while(T--) cout<
// f(i) = h[x] + i * a[x], g(i) = h[y] + i * a[y]
// f(i) > g(i)
// h[x] + i * a[x] > h[y] + i * a[y]
// (a[x] - a[y]) * i > (h[y] - h[x])
// 1. a[x] - a[y] > 0, i > (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y])
// 2. a[x] - a[y] < 0, i < (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y])
// 3. a[x] - a[y] = 0, 0 > (h[y] - h[x])
// I. h[y] - h[x] < 0, i in R
// II. h[y] - h[x] >= 0, i in empty
}