P9976 [USACO23DEC] Farmer John Actually Farms B 题解

伟大的不等式组。

令 
�
�
(
�
)
d 
i
​
 (x) 表示第 
�
i 个植物经过 
�
t 天后的高度，有：

�
�
(
�
)
=
ℎ
�
+
�
×
�
�
d 
i
​
 (x)=h 
i
​
 +t×a 
i
​
 

根据 
�
t 的定义，若用 
�
�
p 
i
​
  表示 FJ 希望长到第 
�
i 高的植物，易得，对于 
1
≤
�
≤
�
1≤x≤n：

�
�
�
+
1
=
�
p 
t 
x
​
 +1
​
 =x

那么，若最少经过 
�
k 天后满足 FJ 的要求，显然有 
�
�
1
(
�
)
>
�
�
2
(
�
)
>
⋯
>
�
�
�
(
�
)
d 
p 
1
​
 
​
 (k)>d 
p 
2
​
 
​
 (k)>⋯>d 
p 
n
​
 
​
 (k)，即：

{
�
�
1
(
�
)
>
�
�
2
(
�
)
�
�
2
(
�
)
>
�
�
3
(
�
)
⋯
�
�
�
−
1
(
�
)
>
�
�
�
(
�
)
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧
​
  
d 
p 
1
​
 
​
 (k)>d 
p 
2
​
 
​
 (k)
d 
p 
2
​
 
​
 (k)>d 
p 
3
​
 
​
 (k)
⋯
d 
p 
n−1
​
 
​
 (k)>d 
p 
n
​
 
​
 (k)
​
 

分开来说，对于排名相邻的两个植物 
�
=
�
�
x=p 
i
​
  和 
�
=
�
�
+
1
y=p 
i+1
​
 ，有 
�
�
(
�
)
>
�
�
(
�
)
d 
x
​
 (k)>d 
y
​
 (k)，即 
ℎ
�
+
�
×
�
�
>
ℎ
�
+
�
×
�
�
h 
x
​
 +k×a 
x
​
 >h 
y
​
 +k×a 
y
​
 ，化简得：

(
�
�
−
�
�
)
�
>
ℎ
�
−
ℎ
�
(a 
x
​
 −a 
y
​
 )k>h 
y
​
 −h 
x
​
 

分类讨论 
�
�
−
�
�
a 
x
​
 −a 
y
​
  的正负：

当 
�
�
−
�
�
>
0
a 
x
​
 −a 
y
​
 >0，即 
�
�
>
�
�
a 
x
​
 >a 
y
​
  时，有 
�
>
ℎ
�
−
ℎ
�
�
�
−
�
�
k> 
a 
x
​
 −a 
y
​
 
h 
y
​
 −h 
x
​
 
​
 ；
当 
�
�
−
�
�
<
0
a 
x
​
 −a 
y
​
 <0，即 
�
�
<
�
�
a 
x
​
  y
​
  时，有 
�
<
ℎ
�
−
ℎ
�
�
�
−
�
�
k< 
a 
x
​
 −a 
y
​
 
h 
y
​
 −h 
x
​
 
​
 ；
当 
�
�
−
�
�
=
0
a 
x
​
 −a 
y
​
 =0，即 
�
�
=
�
�
a 
x
​
 =a 
y
​
  时，有 
0
>
ℎ
�
−
ℎ
�
0>h 
y
​
 −h 
x
​
 ，即 
ℎ
�
>
ℎ
�
h 
x
​
 >h 
y
​
 ：
若 
ℎ
�
>
ℎ
�
h 
x
​
 >h 
y
​
 ，
�
∈
�
k∈R；
反之，若 
ℎ
�
≤
ℎ
�
h 
x
​
 ≤h 
y
​
 ，无解。
此时我们得到了 
�
−
1
n−1 个不等式。其中，有 
�
1
l 
1
​
  个不等式 
�
k 大于某值，
�
2
l 
2
​
  个不等式 
�
k 小于某值，
�
3
l 
3
​
  个结果 
�
∈
�
k∈R，以及 
�
4
l 
4
​
  个无解。

若 
�
4
>
0
l 
4
​
 >0，显然无解，输出 
−
1
−1。由于 
�
∈
�
k∈R，可以忽略所有 
�
3
l 
3
​
  个结果。接下来考虑剩余的 
�
1
l 
1
​
  个 
�
>
�
1
�
k>q1 
i
​
  和 
�
2
l 
2
​
  个 
�
<
�
2
�
k i
​
 。那么，根据初中课本中的「同大取大，同小取小」，易得 
�
>
max
⁡
(
�
1
�
)
k>max(q1 
i
​
 ) 及 
�
<
min
⁡
(
�
2
�
)
k i
​
 )。合并，得：

max
⁡
(
�
1
�
)
<
�
<
min
⁡
(
�
2
�
)
max(q1 
i
​
 ) i
​
 )

若 
max
⁡
(
�
1
�
)
<
min
⁡
(
�
2
�
)
max(q1 
i
​
 ) i
​
 )，且区间 
(
max
⁡
(
�
1
�
)
,
min
⁡
(
�
2
�
)
)
(max(q1 
i
​
 ),min(q2 
i
​
 )) 中至少含有 
1
1 个正整数，则 
�
=
⌊
max
⁡
(
�
1
�
)
⌋
+
1
k=⌊max(q1 
i
​
 )⌋+1；
反之，则无解。
时间复杂度 
�
(
�
⋅
�
)
O(T⋅n)。

#include
using namespace std;
#define int long long
const int N = 2e5 + 5, M = 1e9 + 5;
int T, n, h[N], a[N], t[N], p[N];
double q1 = -1, q2 = N;
int work() {
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>h[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin>>t[i];
        p[t[i] + 1] = i;
    }
    if(n == 1) return 0;
    q1 = -1, q2 = M;
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        int x = p[i], y = p[i + 1];
        if(a[x] > a[y]) q1 = max(q1, 1.0 * (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y]));
        else if(a[x] < a[y]) q2 = min(q2, 1.0 * (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y]));
        else if(h[x] <= h[y]) return -1;     
    }
    if(q1 < q2) {
        double r = floor(q1) + 1; 
        if(r < q2) return r;
        else return -1;
    } else return -1;
}
signed main() {
    cin>>T;
    while(T--) cout<     return 0;
    // f(i) = h[x] + i * a[x], g(i) = h[y] + i * a[y]
    // f(i) > g(i)
    // h[x] + i * a[x] > h[y] + i * a[y]
    // (a[x] - a[y]) * i > (h[y] - h[x]) 
    // 1. a[x] - a[y] > 0, i > (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y])
    // 2. a[x] - a[y] < 0, i < (h[y] - h[x]) / (a[x] - a[y])
    // 3. a[x] - a[y] = 0, 0 > (h[y] - h[x])
    //   I.  h[y] - h[x] < 0, i in R
    //   II. h[y] - h[x] >= 0, i in empty
}