[动态规划]判断整除

题目

一个给定的正整数序列，在每个数之前都插入+号或-号后计算它们的和。比如序列：1、2、4共有8种可能的序列：

(+1) + (+2) + (+4) = 7

(+1) + (+2) + (-4) = -1

(+1) + (-2) + (+4) = 3

(+1) + (-2) + (-4) = -5

(-1) + (+2) + (+4) = 5

(-1) + (+2) + (-4) = -3

(-1) + (-2) + (+4) = 1

(-1) + (-2) + (-4) = -7

所有结果中至少有一个可被整数k整除，我们则称此正整数序列可被k整除。例如上述序列可以被3、5、7整除，而不能被2、4、6、8……整除。注意：0、-3、-6、-9……都可以认为是3的倍数。

输入

输入的第一行包含两个数：N（2 < N < 10000）和k(2 < k< 100)，其中N代表一共有N个数，k代表被除数。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都0到10000之间（可能重复）。

输出

如果此正整数序列可被k整除，则输出YES，否则输出NO。（注意：都是大写字母）

解题分析

如果直接对本题采用暴力的算法，那么2^10000显然是一个极大的数，不太理想。所以考虑用动态规划的方法去解决。

我们可以用一个数组dp[i][j]，一位一位地计算，考虑前i位模k的结果，采用这样的动态规划转移方程就可以比较快速的解决问题。

dp[i][j]表示前i位数字的加减之和模k的余数是否为j，如果是dp[i][j]=1，否则为0。

需要考虑的一点是对于负数的处理，如何用数组下标去存储负数的结果呢？解决的方法是将取模后的结果加上k确保是一个非负数再来存储，可以从数学上证明，这样去计算和直接用负数去计算得到的结果是一致的（a | b <=>(a+b)｜b 是一个等价条件）。

代码实现

#include 
using namespace std;
int numbers[10005];
bool dp[10005][105];

int main(){
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&numbers[i]);
		numbers[i]%=k;
	}
	dp[1][(numbers[1]+k)%k]=1;
	dp[1][(-numbers[1]+k)%k]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=0;j