一维前缀和、二维前缀和（详细解释+例题+代码）

1.1、一维前缀和

• 原数组：a1、a2、a3、a4.............an;

  前缀和数组：Si = a1+a2+a3+a4..........................an；注意：S0 = 0.

  • 如何求Si：S[i] = s[i-1] + a[i];

  • Si作用：区间【L,R】求L,R之间的和，s[r] - s[l-1] 。注意：这里下标一定要从1开始

  • 关于s[r]-s[l-1]为区间和的解释

    通过上下相减消去相同的最后只剩下a[l] + ..... + a[r].

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1.1.1、例题：此题来自Acwing

• 题目描述：

  输入一个长度为 n的整数序列。

  接下来再输入 m个询问，每个询问输入一对 l,r。

  对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

  输入格式：

  第一行包含两个整数 n 和 m。

  第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

  接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

  输出格式：

  共 m行，每行输出一个询问的结果。

  数据范围：

  1≤l≤r≤n 1≤n,m≤100000 −1000≤数列中元素的值≤1000−1000≤数列中元素的值≤1000

  输入样例：

  5 3
  2 1 3 6 4
  1 2
  1 3
  2 4

  输出样例：

  3
  6
  10
  

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AC代码如下：

#include

using namespace std;
 
 
const int N =  100010;
int a[N],s[N];
int n,m;

int main()
{
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d ", &a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        s[i] = s[i-1] + a[i];
    }
    while (m -- )
    {
        int l,r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        int res = s[r] - s[l-1];
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

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2.2、二维前缀和

2.2.1解析和思路：

•  

  图示1

• 

• 图示2

• 

• 根据图示1和图示2，解析和样例，我们不要有一个误区就是，不要把他看出坐标系，要看成 一个方格一个方格，举个例子，比如：前缀和那个矩阵数字45对应的方格坐标是（3，5），注意好行和列，根据我们前面学的一维前缀和可以知道，比如：还是前缀和矩阵里的（1，3）这个方格坐标下的数字是7，对应前面的数组矩阵（1，3）应该是数字4的位置，一维前缀和给出公式：

  s[i] = s[i-1] + a[i] ,随意对应前缀和矩阵下（1，3）方格坐标下，s[1,3] = s[1,2] + a[1,3];最后求出二维前缀和对下方格坐标下是数字7。

2.2.2、二维子矩阵的和

• 根据上面我们知道了如何去求矩阵的前缀和，那二维子矩阵如何求解呢？

• 图示3

• 

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  根据图示3，我们想求出x1，y1，x2，y2之间的子矩阵的前缀和，如图示4

  图示4

  

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  根据图示3和图示4，可能会有疑问的是为什么上面的图3的公式会有减1的这种情况呢？因为根据我们前面的解释，我们不要

  把这个看成坐标系，要去看成方格坐标，比如:图3公式中的s[x1-1,y2],不难看出这个代表着紫色部分，没减去1之前如图4所示，

  此方格坐标为（2，4）减去之后为（1，4）这个方格坐标才是紫色部分的前缀和，而不是（2，4），如果大家理解这个，就会懂后面那个y1为啥减1了。

• ---

  例题：此题同样来源于ACwing

  题目描述：

  输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

  对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

  输入格式：

  第一行包含三个整数 n，m，q。

  接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

  接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2表示一组询问。

  输出格式：

  共 q 行，每行输出一个询问的结果。

  数据范围：

  1≤n,m≤1000 1≤q≤200000 1≤x1≤x2≤n 1≤y1≤y2≤m −1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000

  输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

• ---

  AC代码如下：

• #include
  
  using namespace std;
  
  const int N = 1010;
  int n,m,q;
  int a[N][N],s[N][N];
  
  int main()
  {
      scanf("%d %d %d", &n, &m,&q);
      for(int i=1;i<=n;i++) //行
      {
          for(int j=1;j<=m;j++) //列
          {
              scanf("%d ", &a[i][j]);
          }
      }
      //求前缀和
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              //这里最后求出来的是前缀和矩阵
              s[i][j] = s[i][j-1] + s[i-1][j] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
          }
      }
      
      while (q -- )
      {
          int x1,y1,x2,y2;
          scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1,&x2,&y2);
          //求子矩阵的前缀和
          int res = s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1];
          cout << res << endl;
      }
      return 0;
  }

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