Day46- 动态规划part14

一、最长公共子序列

题目一：1143. 最长公共子序列

1143. 最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]代表text1中前i个字符与text2中前j个字符的最长公共子序列的长度。对于数组中的每个位置dp[i][j]，有两种情况：

1. 如果text1[i-1] == text2[j-1]，则说明这两个字符匹配，可以在之前找到的最长公共子序列的基础上加1，即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
2. 如果text1[i-1] != text2[j-1]，则说明这两个字符不匹配，需要从两个可能的最长公共子序列中选择较长的一个，即dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

初始条件是dp[0][j] = 0和dp[i][0] = 0，因为如果其中一个字符串为空，则最长公共子序列的长度为0。

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        vector> dp(m + 1, vector(n + 1, 0));
    
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }   
        }
    
        return dp[m][n];
    }
};

二、不相交的线

题目一：1035. 不相交的线

1035. 不相交的线

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

•  nums1[i] == nums2[j]
• 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]代表nums1中前i个元素和nums2中前j个元素可以形成的最大连线数。对于数组中的每个位置dp[i][j]，有两种情况：

1. 如果nums1[i-1] == nums2[j-1]，说明找到了一个匹配对，可以在之前找到的最大连线数的基础上加1，即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
2. 如果nums1[i-1] != nums2[j-1]，说明当前的两个元素不能形成连线，需要从之前的结果中选择最大的那个，即dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

初始条件是dp[0][j] = 0和dp[i][0] = 0，因为如果其中一个序列为空，则最大连线数为0。

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector& nums1, vector& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        vector> dp(m + 1, vector(n + 1, 0));
    
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
    
        return dp[m][n];
    }
};

三、最大子数组和

题目一：53. 最大子数组和 

53. 最大子数组和

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

算法的核心思想是遍历数组，同时维护两个变量：currentSum表示到当前元素为止的最大子数组和（包含当前元素），maxSum表示遍历到目前为止的最大子数组和。

对于数组中的每个元素，将其加到currentSum中，如果currentSum变成负数，就将currentSum重置为0，因为任何包含前面部分的子数组都不可能是最大子数组和。

同时，更新maxSum为currentSum和maxSum中的较大值。

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector& nums1, vector& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        vector> dp(m + 1, vector(n + 1, 0));
    
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
    
        return dp[m][n];
    }
};