海涅定理证明

一.必要性

已知$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)=L$根据极限有界性定义$\underset{x->x_0}{\lim }f(x)=A$存在,则x必定有界$(-\infty ,x_0)\cup (x_0,+\infty )$则数列$x_n,\forall n>N(N\in Z^{+})$,存在
$$\begin{array}{l}|x-x_0|<\sigma \\ x_n!=x_0,n\in Z^{+}\end{array}\}=>x_n\in U(x_0,\sigma )$$
$\underset{x->\infty }{\lim }f(x)=L=\underset{x->x_0}{\lim }f(x_n)$
解释: 必要性数列在满足条件下能转换为函数

二.充分性

已知函数$f(x)$任意定义定义域内$\underset{x->\infty }{\lim }{x}_n=x_0,满足\underset{x->x_0}{\lim }f(x_n)=L$
解释: 充分性意味所有函数能从连续的的数中提取数列