64. 最小路径和

Problem: 64. 最小路径和

思路

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
这是一个典型的二维动态规划问题。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从左上角到位置(i, j)的最小路径和。对于dp中的任意元素，由于只能向右和向下移动，所以dp[i][j]只能从dp[i-1][j]或者dp[i][j-1]移动而来，我们选择这两个位置的最小值，再加上当前位置的值，就是dp[i][j]的值了。

解题方法

1.初始化dp数组，dp[0][0]就是起点，是grid[0][0]，dp[i][0]和dp[0][j]分别表示的是第0列和第0行，所以也可以初始化出来。
2.对于其他位置，dp[i][j]应该是dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的最小值加上当前位置的值，这样就可以保证dp[i][j]是到当前位置的最小路径和。
3.最后返回dp[n-1][m-1]即可，因为它表示的是从左上角到右下角的最小路径和。

复杂度

时间复杂度:

$O(n\ast m)$, 需要遍历一遍二维数组

空间复杂度:

$O(n\ast m)$, 需要额外的dp数组

Code

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        int m = grid[0].length;
        int[] dp = new int[m];
        dp[0] = grid[0][0];
        // 计算出第一行的结果
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + grid[0][i];
        }
        // 滚动更新下一行的结果
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[0] += grid[i][0];
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }
}