混乱的数组 蓝桥杯2024省赛 题解

混乱的数组

题意

思路如下：

    ① 优先考虑特殊情况，数组是一个严格递减的数组（每个数字之间相差1，最后一位必须为1），例子如下：
            长度为 7 ，对应的数组为 [7,6,5,4,3,2,1]，根据组合数学 C(7 , 2) = 21，共有21对逆序对
            长度为 8 ，对应的数组为 [8,7,6,5,4,3,2,1]，根据组合数学 C(8 , 2) = 28，共有28对逆序对
        假设逆序对个数为 x 时，当 x ∈ (21,28] ，其数组长度为 8；当 x = 21 时，数组长度为 7
         ② 那么如果 C(L , 2) 不等于 x 呢，假如 x = 25，通过第①步可以求得 L = 7，数组为  [7,6,5,4,3,2,1] ，共 21 对逆序对，那么差4对怎么补齐?其实只要在数组开头添加一个 5 即可，数组变为 [5,7,6,5,4,3,2,1]，多了第一个5和黄色的数字组成的逆序对，刚好4对

        当然这个只是其中一个答案，不符合字典序最小的要求。因此需要化简：

              一、   [5,7,6,5,4,3,2,1] 把5改成4 得到 [5,7,6,4,4,3,2,1] ，可以发现逆序对的个数是没有变化的，那是因为原来加粗了的逆序对，改变成了修改后加粗的逆序对，也仅有这一对发生了转移，因此逆序对个数没变，但是字典序变小了。

              

              二、 [5,7,6,4,4,3,2,1]  贪心，把黄色部分都减1 得到 [5,6,5,4,4,3,2,1]，很明显逆序对个数依然没有改变，但是字典序变小了。

               

              三、[5,6,5,4,4,3,2,1] 黄色部分改成 [5,6,5,4,3,2,1,1] ，相当于把 4 变成 1 ，可以发现逆序对个数依然没有改变，但是字典序变小了。

                

              四、[5,6,5,4,3,2,1,1] 这情况又和第一步很相似了，把5改成4 得到 [5,6,4,4,3,2,1,1]，一直重复步骤一至步骤三，可以得到最终结果：

                                                        [5,4,3,3,2,2,1,1]

                      这个结果就是最"简化"了的，也就是字典序最小

    

    ③ 找规律 x ∈ (21,28] ，结果如下：

根据标黄和标红的部分可以发现有很明显的规律，就像两个三角形，或者阶梯更恰当。

黄色阶梯没有标黄的部分，规律都是严格递减的

红色阶梯没有标红的部分，除了开头那个数字，规律都是严格递减的，而开头的数字跟加粗的数字是相等的

最终的规律总结如下所示：

1、应为n+1长度
2、最终序列可看成是三递减序列的组合：数字a、a-1递减序列和b递减序列。且a+b==n+1。
3、三个序列的组合规律是：先把a-1序列和b递减序列组合，然后降序排序，然后把a插入到头部。

python代码

import sys
from collections import Counter
from heapq import *
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()
x = int(input())
if x == 0 :
    print(1)
else :
    def get(x) :
        return x * (x - 1) // 2
    i = 2
    while get(i) < x :
        i += 1
    ans = []
    n = i
    n -= 1
    a = x - get(n) + 1
    b = n + 1 - a
    for i in range(1 , a) :
        ans.append(i)
    for i in range(1 , b + 1) :
        ans.append(i)
    ans.sort(reverse=True)
    ans.insert(0 , a)
    print(n + 1)
    for x in ans :
        print(x , end = ' ')