复变函数论——⒈复数

假期前的小任务。( •̀∀•́ )

---

反常规的表述，希望可以有新的理解。

1-数系：复数

2-表示手段

3-代数结构

4-特殊的运算

5-代数基本定理

---

1.复数域

复数是拓展出来的数，实际中几乎见不到，但是它的引入可以带来新的操作手段，旋转与放缩的复合。

基本概念

复数，实数，虚数，纯虚数。

虚数单位，实部，虚部。

2.表示手段

复平面：实轴，虚轴，实数对

极坐标：模，辐角

对于辐角，还有一些定义，罗列如下

辐角：Argz=θ      θ=tg(y/x)

主辐角，辐角主值：argz∈(-pi,pi]

图片发自App

三种表示形式

图片发自App

3.代数结构

与实数系相仿，具有四则运算，单位i遵循多项式运算法则。

加法具有交换与结合性

乘法具有交换与结合性，乘法与加法具有分配性。

一些区别

1.实数中的大小关系没有延续下去

所以虚数不能比较大小。

但是，复数是可以规定顺序的，是全序的。

这种顺序仅仅便于描述，就像级数的乘积一样。

2.考虑单位元，

加法与乘法的单位元分别为0和1

还有新的单位元，旋转的单位元，

单位元一般指恒等变换，所以e(2πi)可行。

e(iθ)则是旋转单位。

i是旋转乘数，几何意义为逆时针旋转90°

4.特殊运算

乘幂与方根

这是具有显著区别的运算

图片发自App

这个公式代表了复数乘方的特殊性与易于进行的性质。

图片发自App

方根，由于辐角的不确定，具有较多的值。

可由代数基本定理确定其个数。

整体上体现了旋转对称的特征。

共轭复数

共轭是一种运算，很特殊的运算

图片发自App

其本质就是关于实轴的反射

这些性质可以简化计算。

5.代数基本定理

没什么可说的

n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根

不过，它的图景是什么样的？还是一个圆吗？

感觉不是圆。

---

更新：

复数集与R^2区别

复数集是代数闭域，R^2只是线性空间

复数是有着代数意义的，可以容纳更多的运算。对+-*/和开根号封闭。

比如代数数(有理系数多项式的复根)，就是定义在复数域内的。

R^2尽管也是二维的，依然不能对负数开根号。