四面体：2020年全国卷A题18

四面体：2020年全国卷A题18

分值：12 分

如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，. 是底面的内接正三角形， 为 上一点，.

（1）证明∶ 平面 ;

（2）求二面角 的余弦值.

2020年全国卷A

---

【解答问题2】

根据问题1中的推导可知： 是等腰直角三角形.

令 , 以点 为原点，以 为 轴建立直角坐标系. 则相关各点坐标如下：

.

点是正三角形的中心，其坐标为：.

两点关于点 对称，所以点 坐标为：.

令平面 的法向量为

令平面 的法向量为

结论：二面角 的余弦值为 .

---

【提炼与提高】

用空间向量求二面角的余弦，是立体几何中的常规操作。

应用向量法解题的关键是：如何建立坐标系 ，使得计算量较小？

一般说来，如果几何体中存在三条两两垂直的直线，用这三条作为坐标轴，会是比较明智的选择。

在本题中， 两两垂直，而且 是正三角形，所以，用这三条直线作轴，计算就轻松好多。

假如将点用作原点，也是可以的。但计算量会大些。读者可以自行尝试。

---