高中奥数 2022-03-16

2022-03-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题01）

已知.求的最小值.

解

令,,,则

原式.

2022-03-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题02）

若椭圆经过点,求的最小值.

解

不妨设,,令,,其中,则

记,则,故

因此,等号当时成立.

注:也可以用Cauchy不等式来解.

由于,故

即,且当时等号成立.

2022-03-16-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题03）

在中,求证:

证明

设,,,,则,且,,,故原不等式等价于,即,显然成立.

2022-03-16-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P056 习题04）

设,求证:

证明

设,,.则、、可组成一个三角形,设其面积为,外接圆半径为,则易见原不等式等价于.

由,因此原不等式成立.