【Algorithms 4】算法（第4版）学习笔记 06 - 2.3 快速排序

前言

本章节主要内容是 快速排序。快速排序被誉为二十世纪十大算法之一，至今也十分常用。

本文的主要内容包括 快速排序 以及 三向切分快速排序，视频课程中还有关于快速选择（quick selection）以及计算机系统应用的一些说明，本文不详细展开，感兴趣的朋友建议移步视频自行学习总结。

参考目录

• B站 普林斯顿大学《Algorithms》视频课
  （请自行搜索。主要以该视频课顺序来进行笔记整理，课程讲述的教授本人是该书原版作者之一 Robert Sedgewick。）
• 微信读书《算法（第4版）》
  （本文主要内容来自《2.3 快速排序》）
• 官方网站
  （有书本配套的内容以及代码）

学习笔记

注1：下面引用内容如无注明出处，均是书中摘录。
注2：所有 demo 演示均为视频 PPT demo 截图。

1：基本算法

快速排序的递归是在它完成工作之后，而归并排序是在它完成工作之前。

基本过程：

• 数组随机洗牌
• 用一些 j 分割数组：
  • a[j] 在数组中
  • j 左边都是比它小的数
  • j 右边都是比它大的数

（对每一部分进行递归排序）

（截图自官网）

1.1：快速排序 demo 演示

阶段一：重复扫描直到指针 i 和 j 交叉。

• i 指针从左到右扫描，只要 a[i] < a[lo]
• j 指针从右到左扫描，只要 a[j] > a[lo]
• 交换 a[i] 和 a[j]

阶段二：当指针i和j交叉后

• 交换 a[lo] 和 a[j]

阶段二之后实际上就分区结束了。

（截图自官网）

切分轨迹：

（截图自官网）

1.2：快速排序切分代码实现

edu.princeton.cs.algs4.Quick#partition

edu.princeton.cs.algs4.Quick#sort

1.3：实现细节

（这里列出对应的章节）

• 2.3.1.1 原地切分
• 2.3.1.2 别越界
• 2.3.1.3 保持随机性
• 2.3.1.4 终止循环
• 2.3.1.5 处理切分元素值有重复的情况
• 2.3.1.6 终止递归

官网上也作了简单的说明：

（截图自官网）

1.4：案例分析

1.4.1：最佳案例

1.4.2：最坏案例

1.4.3：平均案例分析

这一环节，教授对于快速排序的分析作了数学模型的证明，对应了书本的命题 K。

命题K。将长度为N的无重复数组排序，快速排序平均需要～2NlnN次比较（以及1/6的交换）。

书本和教授视频里面都给出了相关的证明过程，不过说实话数学不好真的有点伤脑筋，我花了一点时间去搞懂证明过程。

先列举一下教授视频里面的证明过程：

特别是最后两步的近似过程，一开始一脸懵逼……

然后后面多亏了在线计算器，大致证明过程如下（iPad 写得比较丑，凑合看）：

其中：

（https://mathdf.com/int/cn/）

（https://www.lddgo.net/math/logarithm-calculator）

1.5：特征总结

简单翻译一下：

最坏的情况：比较次数是平方级别
（不过你的电脑被闪电击中的可能性更大，可以参见命题L证明）

一般情况：比较数为 ~ 1.39NlgN

• 比较次数比归并排序多39%
• 但是实际上比归并排序更快，因为数据移动少

随机洗牌：

• 最坏情况下的概率保证
• 基本数学模型可以通过实验验证

需要注意。实际上很多教科书上的实现是平方级别的，假如数组：

• 进行排序或反向排序
• 有许多重复项（即使是随机的！）

快速排序是原地排序算法。

• 切分：恒定的额外空间
• 递归深度：对数额外空间（大概率）
  （可以通过在较小的子数组上递归到较大的子数组来保证对数深度）

快速排序是不稳定的。

1.6：算法优化

• 2.3.3.1 切换到插入排序
• 2.3.3.2 三取样切分
• 2.3.3.3 熵最优的排序

2：Dijkstra 三向切分的快速排序

前面总结有提及到：如果有很多重复项的时候，快速排序会很慢。因而有了三向切分的优化方式。

（截图自官网）

2.1：三向切分 demo 演示

初始数组：

情况一：a[i] < v

情况二：a[i] > v

情况三：a[i] = v

分割完成：

切分轨迹：

（截图自官网）

2.2：三向切分代码实现

教授：amazingly simple

edu.princeton.cs.algs4.Quick3way#sort

2.3：熵最优

（熵最优的证明超出了课程范围）

3：排序算法小总结

对于前面的六种算法作了简单总结：

做成表格简单翻译一下：

	原地？	稳定？	最坏	平均	最好	备注
选择排序	√		N2/2	N2/2	N2/2	N次交换
插入排序	√	√	N2/2	N2/4	N	N较小或者是部分排序时使用
希尔排序	√		?	?	N	编码紧凑，次平方时间复杂度 （次平方：指其运行时间的增长速度低于问题规模（通常是输入大小）的平方）
归并排序		√	NlgN	NlgN	NlgN	NlogN保证，稳定
快速排序	√		N2/2	2NlnN	NlgN	NlogN概率保证，在实践中最快
三向切分快速排序	√		N2/2	2NlnN	N	改进存在重复键时的快排
???	√	√	NlgN	NlgN	NlgN	排序的圣杯 （在计算机编程中，“Holy Sorting Grail”这个表达通常用来比喻一种理想化的排序算法。）

（完）