【教3妹学编程-算法题】统计强大整数的数目

2哥 : 3妹，今年过年收到压岁钱了没呢。
3妹：切，我都多大了啊，肯定没收了啊
2哥 : 俺也一样，不仅没收到，小侄子小外甥都得给，还倒贴好几千
3妹：哈哈哈哈，2叔叔，也给我这个小侄女点压岁钱啊
2哥 :切，没啦没啦
3妹：话说你最大是多少岁开始没人给压岁钱了啊？
2哥：emmm, 大概是16岁，上高中开始的吧
3妹：那2哥，你收到的最大红包是多少呢
2哥：5千，是我奶奶给我的。
2哥：好吧，回家不仅只有压岁钱，也要刷题啊，今天有一道“最大”的题目， 让我们先做一下吧~

题目：

给你三个整数 start ，finish 和 limit 。同时给你一个下标从 0 开始的字符串 s ，表示一个 正 整数。

如果一个 正 整数 x 末尾部分是 s （换句话说，s 是 x 的 后缀），且 x 中的每个数位至多是 limit ，那么我们称 x 是 强大的 。

请你返回区间 [start…finish] 内强大整数的 总数目 。

如果一个字符串 x 是 y 中某个下标开始（包括 0 ），到下标为 y.length - 1 结束的子字符串，那么我们称 x 是 y 的一个后缀。比方说，25 是 5125 的一个后缀，但不是 512 的后缀。

示例 1：

输入：start = 1, finish = 6000, limit = 4, s = “124”
输出：5
解释：区间 [1…6000] 内的强大数字为 124 ，1124 ，2124 ，3124 和 4124 。这些整数的各个数位都 <= 4 且 “124” 是它们的后缀。注意 5124 不是强大整数，因为第一个数位 5 大于 4 。
这个区间内总共只有这 5 个强大整数。
示例 2：

输入：start = 15, finish = 215, limit = 6, s = “10”
输出：2
解释：区间 [15…215] 内的强大整数为 110 和 210 。这些整数的各个数位都 <= 6 且 “10” 是它们的后缀。
这个区间总共只有这 2 个强大整数。
示例 3：

输入：start = 1000, finish = 2000, limit = 4, s = “3000”
输出：0
解释：区间 [1000…2000] 内的整数都小于 3000 ，所以 “3000” 不可能是这个区间内任何整数的后缀。

提示：

1 <= start <= finish <= 10^15
1 <= limit <= 9
1 <= s.length <= floor(log10(finish)) + 1
s 数位中每个数字都小于等于 limit 。
s 不包含任何前导 0 。

思路：

设 nums\textit{nums}nums 的异或和为 sss。

定义 dfs(i,limitLow,limitHigh)表示构造第 i位及其之后数位的合法方案数，其余参数的含义为：

limitHigh表示当前是否受到了 finish的约束（我们要构造的数字不能超过 finish。若为真，则第 iii 位填入的数字至多为 finish[i]，否则至多为 9，这个数记作 hi。如果在受到约束的情况下填了 finish[i]，那么后续填入的数字仍会受到 finish 的约束。例如 finish=123，那么 i=0填的是 1 的话，i=1的这一位至多填 2。
limitLow 表示当前是否受到了 start的约束（我们要构造的数字不能低于 start。若为真，则第 i位填入的数字至少为 start[i]，否则至少为 0，这个数记作 lo。如果在受到约束的情况下填了 start[i]，那么后续填入的数字仍会受到 start 的约束。

java代码：

class Solution {
    public long numberOfPowerfulInt(long start, long finish, int limit, String s) {
        String low = Long.toString(start);
        String high = Long.toString(finish);
        int n = high.length();
        low = "0".repeat(n - low.length()) + low; // 补前导零，和 high 对齐
        long[] memo = new long[n];
        Arrays.fill(memo, -1);
        return dfs(0, true, true, low.toCharArray(), high.toCharArray(), limit, s.toCharArray(), memo);
    }

    private long dfs(int i, boolean limitLow, boolean limitHigh, char[] low, char[] high, int limit, char[] s, long[] memo) {
        if (i == high.length) {
            return 1;
        }

        if (!limitLow && !limitHigh && memo[i] != -1) {
            return memo[i]; // 之前计算过
        }

        // 第 i 个数位可以从 lo 枚举到 hi
        // 如果对数位还有其它约束，应当只在下面的 for 循环做限制，不应修改 lo 或 hi
        int lo = limitLow ? low[i] - '0' : 0;
        int hi = limitHigh ? high[i] - '0' : 9;

        long res = 0;
        if (i < high.length - s.length) { // 枚举这个数位填什么
            for (int d = lo; d <= Math.min(hi, limit); d++) {
                res += dfs(i + 1, limitLow && d == lo, limitHigh && d == hi, low, high, limit, s, memo);
            }
        } else { // 这个数位只能填 s[i-diff]
            int x = s[i - (high.length - s.length)] - '0';
            if (lo <= x && x <= Math.min(hi, limit)) {
                res = dfs(i + 1, limitLow && x == lo, limitHigh && x == hi, low, high, limit, s, memo);
            }
        }

        if (!limitLow && !limitHigh) {
            memo[i] = res; // 记忆化 (i,false,false)
        }
        return res;
    }
}