求组合数的三种算法
组合数
- 一、预处理组合数
- 二、预处理阶乘
- 三、卢卡斯定理
一、预处理组合数
核心：
C a b = C a − 1 b + C a − 1 b − 1 C_a^b = C_{a-1}^b + C_{a-1}^{b-1} Cab=Ca−1b+Ca−1b−1
适用范围： a a a 较小的情况下，如 a ≤ 1 0 3 a \leq 10^3 a≤103。
算法简析：令 C[n][k] = C n k \text{C[n][k]}=C_n^k C[n][k]=Cnk，规定 C[0][0] = 1 \text{C[0][0] = 1} C[0][0] = 1，则
C[n][k] = { 1 , k = = 0 C[n - 1][k] + C[n - 1][k - 1] , 0 < k ≤ n a n d n ≥ 1 \begin{split} \text{C[n][k]}=\begin{cases} 1&,k==0\\ \text{C[n - 1][k] + C[n - 1][k - 1]}&,0
#define MAX 4000
#define MOD 6662333
int C[MAX][MAX], n;
void solve(void)
{
for (int i = 0; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= i; j++)
if (j == 0) C[i][j] = 1;
else
C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % MOD;
}
预处理后，直接访问 C[n][k] \text{C[n][k]} C[n][k]，就能得到 C n k C_n^k Cnk 的值。
二、预处理阶乘
核心：
C a b = a ! b ! ( a − b ) ! = a ! ∗ ( b ! ) − 1 ∗ ( ( a − b ) ! ) − 1 C_a^b=\frac{a!}{b!(a-b)!}=a!\ast (b!)^{-1}\ast ((a-b)!)^{-1} Cab=b!(a−b)!a!=a!∗(b!)−1∗((a−b)!)−1
适用范围： a a a 较大的情况下，如 a ≤ 1 0 5 a\leq 10^{5} a≤105。
算法简析：
先来看逆元和费马小定理的定义：
- 1、逆元：对于模 m m m，有两个数 a a a 和 b b b，若 a b ≡ 1 ( mod m ) ab\equiv1(\text{mod}~m) ab≡1(mod m)，即 a a a 和 b b b 的乘积除以 m m m 的余数为1，则 a a a 和 b b b 互为模 m m m 意义下的乘法逆元。记 b = a − 1 , a = b − 1 b=a^{-1},~a=b^{-1} b=a−1, a=b−1。
- 2、费马小定理：若 p p p 是一个素数，且 a a a 不被 p p p 整除，则 a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) a^{p-1}\equiv1(\text{mod}~p) ap−1≡1(mod p)，即 a p − 1 a^{p-1} ap−1 除以 p p p 的余数为1。
由模运算的性质， ≡ \equiv ≡ 两边同乘 a a a 的逆元 a − 1 a^{-1} a−1，得 a p − 2 ≡ a − 1 ( mod p ) a^{p-2}\equiv a^{-1}(\text{mod}~p) ap−2≡a−1(mod p)。在模 p p p 的意义下， a p − 2 a^{p-2} ap−2 和 a − 1 a^{-1} a−1 等价。求 a − 1 a^{-1} a−1，就转换为求 a p − 2 a^{p-2} ap−2。
现在，我们的重点是求阶乘和阶乘的逆元。我们用两个数组 fact[] 和 infact[] 分别表示阶乘(fact[a] 为 a ! a! a!)和阶乘的逆元(infact[a] 表示 ( a ! ) − 1 (a!)^{-1} (a!)−1)。规定 fact[0] = infact[0] = 1 \text{fact[0] = infact[0] = 1} fact[0] = infact[0] = 1。
- 1、阶乘：由
a ! = ( a − 1 ) ! ∗ a a!=(a-1)!\ast a a!=(a−1)!∗a
得，
fact[a] = fact[a - 1] * a \text{fact[a] = fact[a - 1] * a} fact[a] = fact[a - 1] * a
- 2、阶乘的逆元：由费马小定理，在模 p p p 下，
( a ) p − 2 ≡ ( a ) − 1 ( mod p ) ( a ! ) − 1 = ( ( a − 1 ) ! ) − 1 ∗ a − 1 \begin{split} (a)^{p-2}&\equiv (a)^{-1}(\text{mod}~p) \\ (a!)^{-1}&=((a-1)!)^{-1}\ast a^{-1} \end{split} (a)p−2(a!)−1≡(a)−1(mod p)=((a−1)!)−1∗a−1
得，
infact[a] = infact[a - 1] ∗ a − 1 a − 1 = pow(a, p - 2) mod p \begin{split} \text{infact[a]}&=\text{infact[a - 1]} \ast a^{-1} \\ a^{-1}&=\text{pow(a, p - 2) mod p} \end{split} infact[a]a−1=infact[a - 1]∗a−1=pow(a, p - 2) mod p
注：计算逆元时，可以通过快速幂来提高算法效率。
#define MAX 4000
#define MOD 6662333
int fact[MAX], infact[MAX], n;
typedef long long ll;
int qum(int x, int n, int mod)
{
ll ret = 1;
while (n > 0)
{
if (n & 1) ret = ret * x % MOD;
x = (ll)x * x % MOD;
n >>= 1;
}
return ret;
}
void solve(void)
{
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % MOD;
infact[i] = (ll)infact[i - 1] * qum(i, MOD - 2, MOD) % MOD;
}
}
预处理后， C n k = fact[n] * infact[k] * infact[n - k] C_n^k=\text{fact[n] * infact[k] * infact[n - k]} Cnk=fact[n] * infact[k] * infact[n - k]。注意：计算过程中可能会溢出，要进行模运算。
三、卢卡斯定理
核心：卢卡斯定理
C a b ≡ C a mod p b mod p ⋅ C ⌊ a / p ⌋ ⌊ b / p ⌋ ( mod p ) C_a^b\equiv C_{a~\text{mod}~p}^{b~\text{mod}~p}~·~C_{\lfloor a/p \rfloor}^{\lfloor b/p \rfloor}(\text{mod}~p) Cab≡Ca mod pb mod p ⋅ C⌊a/p⌋⌊b/p⌋(mod p)
适用范围： a a a 很大的情况，比如 a ≤ 1 0 18 a \leq 10^{18} a≤1018。
算法简析：若 a a a 和 b b b 很大，我们可以通过卢卡斯定理缩小 a a a 和 b b b，直至 a , b < p a,~b< p a, b<p ( p p p 一般是较小的素数)。这时，在使用前两种方法求解。
#define MAX 4000
#define MOD 6662333
int fact[MAX], n;
typedef long long ll;
int qum(int x, int n, int mod)
{
ll ret = 1;
while (n > 0)
{
if (n & 1) ret = ret * x % MOD;
x = (ll)x * x % MOD;
n >>= 1;
}
return ret;
}
void init(void)
{
fact[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
fact[i] = (ll)fact[i - 1] * i % MOD;
}
}
int C(int a, int b, int mod)
{
if (a < b) return 0;
return (ll)fact[a] * qum(fact[b], mod - 2, mod) % mod * qum(fact[a - b], mod - 2, mod) % mod;
}
int lucas(int a, int b, int mod)
{
if (a < mod && b < mod) return C(a, b, mod);
return (ll)C(a % mod, b % mod, mod) * lucas(a / mod, b / mod, mod) % mod;
}
完