【状态估计】深度传感器与深度估计算法（3/3）

后验概率的参数化近似

为便于推导，先对$p(x_i|Z,\pi )$公式引入变量$y_i$，$y_i=1$意味第ℹ次测量为内点，$y_i=0$意味第ℹ次测量为外点，

定义$X=(x_1,...,x_n)$，$Y=(y_1,...,y_n)$，
$$p(y_i|\pi )={\pi }^{y_i}(1-\pi {)}^{1-y_i}$$
设$\pi$与$Z$独立，则有如下联合分布概率
$$p(X,Y,Z,\pi )=[\prod _{i=1}^{n}p(x_i|Z,\pi ,y_n)p(y_i|\pi )]p(Z)p(\pi )$$

后验概率可表示为$q(Y,Z,\pi |X)$

令$q(Y,Z,\pi )$是后验概率$q(Y,Z,\pi |X)$的近似，并假设满足
$$q(Y,Z,\pi )=q_y(Y)q_{Z,\pi }(Z,\pi )$$
现在，寻找一个近似$q(Y,Z,\pi )$的分布，满足与真实后验的KL散度最小，由Pattern Recognition And Machine Learning 第10.1.1章节，待求的分布$q_{Z,\pi }(Z,\pi )$要满足，
$$\ln q_{Z,\pi }(Z,\pi )=E_y[\ln p(X,Y,Z,\pi )]+const$$

$E_y[\ast ]$表示分布$q_y(Y)$的期望。

则后验概率可推导为下式所近似
$$q(Z,\pi |a_n,b_n,{\mu }_n,{\sigma }_n):=Beta(\pi |a_n,b_n)N(Z|{\mu }_n,{\sigma }_n^2)$$
其中，$Beta(\pi |a_n,b_n)$为Beta分布，$a_n$，$b_n$分别为观测的内外点的概率计数，${\mu }_n$，${\sigma }_n^2$是高斯深度估计的期望与方差。
设$n-1$次测量后，后验概率为$q(Z,\pi |a_{n-1},b_{n-1},{\mu }_{n-1},{\sigma }_{n-1})$，获得第$n$次测量后更新的后验概率为：
$$Cp(x_n|Z,\pi )q(Z,\pi |a_{n-1},b_{n-1},{\mu }_{n-1},{\sigma }_{n-1})$$
其中，C为某常数，此时分布已不再是Gaussian x Beta分布，较复杂，但可利用1、2阶矩去匹配近似成Gaussian x Beta分布，按此思路不断更新，实验验证可收敛到真值附近。