【LeetCode-494】目标和(回溯&动归)

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LeetCode494.目标和

题目描述

解法1：回溯法

代码实现

解法2：动态规划

代码实现

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LeetCode494.目标和

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题目描述

给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

• 输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

• 输出：5

解释：

• -1+1+1+1+1 = 3

• +1-1+1+1+1 = 3

• +1+1-1+1+1 = 3

• +1+1+1-1+1 = 3

• +1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

提示：

• 数组非空，且长度不会超过 20 。

• 初始的数组的和不会超过 1000 。

• 保证返回的最终结果能被 32 位整数存下。

解法1：回溯法

这里目的是找到和为target的数的方法数，并且长度不超过20，所以我开始觉得是不会超时的。这里的index表示遍历的位置，因为不可以重复取值，所以都是遍历的当前的下一个。然后终结条件就是index的值等于nums数组的长度的时候。

代码实现

class Solution {
    int times = 0;
    int target = 0;
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        this.target = target;
        backTracking(0, 0, nums);
        return times;
    }
​
    public void backTracking(int index, int sum, int[] nums) {
        if (index == nums.length) {
            if (sum == target) times++;
            return;
        }
​
        for (int i = index; i < nums.length; i++) {
            sum += nums[index];
            backTracking(i+1, sum, nums);
            sum -= 2*nums[index];
            backTracking(i+1, sum, nums);
            return;
        }
    }
}

解法2：动态规划

如何转化为01背包问题呢。

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

这里的x，就是bagSize，也就是我们后面要求的背包容量。

大家看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。

这么担心就对了，例如sum 是5，S是2的话其实就是无解的，所以：

if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案

同时如果 S的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案

再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？

因为每个物品（题目中的1）只用一次！

这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。

本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法

其实也可以使用二维dp数组来求解本题，dpi：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dpi种方法。

1. 确定递推公式

有哪些来源可以推出dp[j]呢？

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。

例如：dp[j]，j 为5，

• 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。

• 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。

• 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包

• 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包

• 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

所以求组合类问题的公式，都是类似这种：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

这个公式在后面在讲解背包解决排列组合问题的时候还会用到！

1. dp数组如何初始化

从递推公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递推结果将都是0。

这里有录友可能认为从dp数组定义来说 dp[0] 应该是0，也有录友认为dp[0]应该是1。

其实不要硬去解释它的含义，咱就把 dp[0]的情况带入本题看看应该等于多少。

如果数组[0] ，target = 0，那么 bagSize = (target + sum) / 2 = 0。 dp[0]也应该是1， 也就是说给数组里的元素 0 前面无论放加法还是减法，都是 1 种方法。

所以本题我们应该初始化 dp[0] 为 1。

可能有同学想了，那 如果是 数组[0,0,0,0,0] target = 0 呢。

其实 此时最终的dp[0] = 32，也就是这五个零 子集的所有组合情况，但此dp[0]非彼dp[0]，dp[0]能算出32，其基础是因为dp[0] = 1 累加起来的。

dp[j]其他下标对应的数值也应该初始化为0，从递推公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。

1. 确定遍历顺序

nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。

1. 举例推导dp数组

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3

bagSize = (S + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4

代码实现

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
    //如果target过大 sum将无法满足
        if ( target < 0 && sum < -target) return 0;
        if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
        int size = (target + sum) / 2;
        if(size < 0) size = -size;
        int[] dp = new int[size + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            for (int j = size; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[size];
    }
}