机器学习实战2--蒙特卡洛方法与Q-Q图(2022/10/12)

蒙特卡洛方法与Q-Q图

import numpy as np
from numpy.linalg import inv,eig
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from scipy.stats import norm

蒙特卡洛方法

蒙特卡洛的定义和基本步骤

蒙特卡洛是一个赌场的名字，我对他的理解大概是这一个使用随机数暴力求解的算法。其步骤主要为以下三个：

• 构造或描述概率过程
• 实现从已知概率分布抽样
• 建立各种估计量。

一些常用的概率论相关函数

• 使用np.random.seed()可以设置随机数种子，随机数种子有三位数的int,设置随机数种子后，每次生成的随机数均相同，不填入种子，则生成的随机数不同。
• 使用np.random.normal(均值, 标准差, 样本个数) 生成服从$N(均值，标准差)$的确定个数的样本。
• 使用np.random.uniform(下界, 上界, n) 生成服从均匀分布$U(a,b)$的确定个数的样本。
• 使用np.random.binomial(n, p, n) 生成服从二项分布$b(n,p)$的确定个数的样本。
• 使用np.random.exponential(1/lambda)： 指数分布,生成服从指数分布$EXP(\frac{1}{\lambda })$的确定个数的样本。
• 使用np.random.poisson(lam)：生成服从参数$\lambda$确定的泊松分布的确定个数的样本。

mu = 0;sigma = 1;n=10000
x = np.random.normal(mu,sigma,n)
# x =np.random.uniform(2,4,n)
plt.hist(x,bins=300)
plt.axvline(x=mu,color = "red",label="u")
plt.legend()

使用蒙特卡洛验证大数定理

• 生成一个确定的分布，我这里使用均匀分布
• 每次抽样，计算均值，
• 画均值图像（大数定理表明服从正态分布）
• 与总体均值比对

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei'] #中文标签
a = 2;b = 5;n = 10000 #抽样个数
e = (a+b)/2 #计算得出的总体均值
E = list()  #样本均值列表
mean_e = list() # 样本均值的均值存储列表
for i in range(1000):
    x = np.random.uniform(a,b,n) #抽10000个样本
    E.append(np.mean(x)) #储存每一次x的均值
    mean_e.append(np.mean(E)) #储存每一次均值的均值
plt.figure("样本均值的分布")
plt.hist(E,bins = 100)
plt.axvline(x=e,color = "red")
plt.title("均值的分布情况")

Text(0.5, 1.0, ‘均值的分布情况’)

由大数定理可以得知，样本的均值是总体均值的无偏估计，即 $E(E(\bar{X}))=\mu$
即当抽样检验的次数越多时，样本均值的数学期望（均值）会越来越接近总体均值

plt.figure(112)
plt.title("均值的期望趋势")
plt.scatter(range(1000),mean_e,label = "均值的期望")
plt.axhline(y=e,color = "red",label = "总体均值")
plt.legend()

Q-Q图

Q-Q图的定义及用途

• Q-Q图的横纵坐标均为两个分布的分位数，用于比较两个分布是否一致的情况，若一致，则两个分位数的分位点是相同的。则此时的Q-Q图应是一条直线，若分布完全相同则为 $y=x$ 的直线。
• 若两个分布相同但参数不同，则呈现为一条直线，如当横轴分布为标准正态分布$N(0,1)$ ，纵轴为正态分布$N(\mu ,\sigma )$时，直线斜率为$\sigma$,截距$\mu$。
• 值得注意的是：如果我们将一个某分布的样本直接根据他们的取值从小到大排列，得到的就是其分位数的函数，因为从小到大排列时，此时函数自变量为个数（即如1%个数的样本），因变量为这1%样本对应的上限值，也就是分位数

from math import sqrt
n = 10000
a = 2;b=3
x = np.random.normal(0,1,n)
y = (x+a)/b #生成(x+a)/b的分布，
y.sort() # 将这些个体从小到大排列的话，便是在横坐标函数的横坐标，即分位数。
prob = (np.arange(n)+1/2)/n #生成[0,1]间连续分布的n个的采样值(概率值)
q = norm.ppf(prob,a/b,1/b) #ppf正态分布求解分位数的函数，第一个参数是对应的概率值，所以使用[0,1]均匀分布的函数
# y 是需要我们验证的分布，因为其是由x变换求得的，q是由a/b、1/b生成的，是用来对比的

plt.scatter(x=q,y=y,color='red',label = "理想计算值分位数散点")
plt.plot(y,y,color = 'blue',label = "y=x参考线")
plt.legend()
plt.title("Q-Q图")
plt.xlabel("理想的分布")
plt.ylabel("实际的散点分布")

Text(0, 0.5, ‘实际的散点分布’)

可以看出 $y=\frac{x+a}{b}$ 服从$N(\frac{a}{b},\frac{1}{b})$，
符合我们的计算 $$E(y)=E(\frac{x}{b})+E(\frac{a}{b})=0+\frac{a}{b}$$
$$D(y)=D(\frac{x}{b})+D(\frac{a}{b})=\frac{1}{b^2}\ast 1+0=\frac{1}{b^2}==>\sigma =\frac{1}{b}$$

jupyter源文件在此处