算法刷题day12

引言

今天写的都是一些全新的题目，而且也都挺有挑战性的，希望自己能够继续加油下去，让自己多练题，多熟悉题型，加油！

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一、小苹果

标签：模拟

思路：这个问题如果一个一个枚举肯定是不行的，所以得换一种思路。要求的有两个总天数和最后一个拿走的天数，每天会拿走n/3上取整个数，然后每次循环遍历直至n为0，然后就是求最后一个，最后一个的编号永远为n，所以如果n%3=1，那么把天数记下就行了，另外只能赋值一次

题目描述：

小  Y  的桌子上放着 n 个苹果从左到右排成一列，编号为从 1 到 n。

小苞是小 Y 的好朋友，每天她都会从中拿走一些苹果。

每天在拿的时候，小苞都是从左侧第 1 个苹果开始、每隔 2 个苹果拿走 1 个苹果。

随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。

小苞想知道，多少天能拿完所有的苹果，而编号为 n 的苹果是在第几天被拿走的？

输入格式
输入的第一行包含一个正整数 n，表示苹果的总数。

输出格式
输出一行包含两个正整数，两个整数之间由一个空格隔开，分别表示小苞拿走所有苹果所需的天数以及拿走编号为 n 的苹果是在第几天。

数据范围
对于所有测试数据有：1≤n≤109。

特殊性质：小苞第一天就取走编号为 n 的苹果。

输入样例：
8
输出样例：
5 5
样例解释
小苞的桌上一共放了 8 个苹果。

小苞第一天拿走了编号为 1、4、7 的苹果。

小苞第二天拿走了编号为 2、6 的苹果。

小苞第三天拿走了编号为 3 的苹果。

小苞第四天拿走了编号为 5 的苹果。

小苞第五天拿走了编号为 8 的苹果。

示例代码：

#include 

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    int days = 0, date = 0;
    while(n)
    {
        days++;
        if(!date && n % 3 == 1) date = days;
        n -= (n + 2) / 3;
    }
    
    printf("%d %d\n", days, date);
    
    return 0;
}

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二、公路

标签：贪心

思路：这道题可以反着来看，油可以先欠着，到了站点再补油，看欠了多少油，然后从之前的站点找一个最便宜的油加上。犯的错就是不应该把油量每次都模拟出来，可以把总的油量和总的距离给弄出来就行了，不然整的很复杂的，而且要算出每段用了多少油，还有精度的问题很麻烦的。

题目描述：

小苞准备开着车沿着公路自驾。

公路上一共有 n 个站点，编号为从 1 到 n。

其中站点 i 与站点 i+1 的距离为 vi 公里。

公路上每个站点都可以加油，编号为 i 的站点一升油的价格为 ai 元，且每个站点只出售整数升的油。

小苞想从站点 1 开车到站点 n，一开始小苞在站点 1 且车的油箱是空的。

已知车的油箱足够大，可以装下任意多的油，且每升油可以让车前进 d 公里。

问小苞从站点 1 开到站点 n，至少要花多少钱加油？

输入格式
输入的第一行包含两个正整数 n 和 d ，分别表示公路上站点的数量和车每升油可以前进的距离。

输入的第二行包含 n−1 个正整数 v1,v2…vn−1，分别表示站点间的距离。

输入的第三行包含 n 个正整数 a1,a2…an，分别表示在不同站点加油的价格。

输出格式
输出一行，仅包含一个正整数，表示从站点 1 开到站点 n，小苞至少要花多少钱加油。

数据范围
对于所有测试数据保证：1≤n≤105，1≤d≤105，1≤vi≤105，1≤ai≤105。

特殊性质 A：站点 1 的油价最低。

特殊性质 B：对于所有 1≤i

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

typedef long long LL;

int n, d;
int v[N], a[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &d);
    for(int i = 1; i <= n - 1; ++i) scanf("%d", &v[i]);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    LL money = 0, dist = 0, oil = 0;
    int price = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        dist += v[i-1];
        LL t = (dist+d-1) / d - oil;  //需要的油
        money += price * t;
        oil += t;
        price = min(price, a[i]);
    }
    
    cout << money << endl;
    
    return 0;
}

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三、互质数的个数

标签：数学

思路：这求的是互质数的个数可以根据欧拉定理即可，然后求的是$a^b$的欧拉函数，然后可以根据欧拉函数:$$\varphi (N)=N\cdot (1-\frac{1}{1-p_1})\cdot (1-\frac{1}{1-p_2})\cdots (1-\frac{1}{1-p_k})$$也就是可以转换为：$$\varphi (a^b)=a^{b-1}\cdot a\cdot (1-\frac{1}{1-p_1})\cdot (1-\frac{1}{1-p_2})\cdots (1-\frac{1}{1-p_k})$$然后用欧拉函数和快速幂求解即可，如有理论不懂可参考我之前的博客欧拉函数、快速幂

题目描述：

给定 a,b，求 1≤x

示例代码：

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MOD = 998244353;

LL qmi(LL a, LL b)
{
    LL res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

LL a, b;

int main()
{
    cin >> a >> b;
    
    if(a == 1)
    {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }
    
    LL res = a, x = a;
    for(int i = 2; i <= x / i; ++i)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            res = res - res / i;
            while(x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    
    if(x > 1) res = res - res / x;
    
    cout << res * qmi(a, b-1) % MOD << endl;
    
    return 0;
}