龟兔赛跑算法

一、题目

给定一个长度为 n+1 的数组nums，数组中所有的数均在 1∼n1 的范围内，其中 n≥1。

请找出数组中任意一个重复的数。

样例

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。

返回 2 或 3。

二、解析

解决这个问题的一种有效方法是使用快慢指针，也称为龟兔赛跑算法（Floyd's Cycle Detection Algorithm）。该算法的基本思想是在一个循环链表中，快指针和慢指针分别以不同的速度移动，如果存在环，则两者最终会相遇。

在这个问题中，可以将数组视为一个链表，数组中的元素值作为下一个节点的索引，构成一个链表。因为题目保证了数组中的元素值在 1 到 n 的范围内，所以数组中不存在负数，也不存在索引超出数组范围的情况。

原理：

当我们把数组中的元素看作链表中的节点时，题目要求找到数组中的任意一个重复数，实际上就是在链表中找到环的入口点。快慢指针算法的核心思想是利用两个不同速度的指针，如果存在环，这两个指针最终会相遇。

下面是算法的基本思路：

1. 初始化：使用两个指针，一个慢指针 slow 和一个快指针 fast，初始时都指向数组的第一个元素 nums[0]。

2. 寻找相遇点：快指针每次前进两步，慢指针每次前进一步，直到两者相遇。相遇时，说明链表中存在环。

3. 重置一个指针：将其中一个指针（例如慢指针）重置到数组的第一个元素 nums[0]，而另一个指针保持在相遇点。

4. 寻找环的入口点：两个指针再以相同速度前进，直到它们再次相遇。相遇点即为环的入口点，也即重复的数。

这个原理的关键在于，当两个指针相遇时，说明链表中存在环。在寻找环的入口点时，将一个指针重置到链表头，然后两个指针以相同的速度前进，它们再次相遇的点就是环的入口点。在这个问题中，环的入口点对应于数组中的重复数。

这个算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。算法的空间复杂度为 O(1)，因为只使用了常数额外的空间。

下面是用C语言实现的代码：

#include 

int findDuplicate(int* nums, int numsSize) {
    // 初始化快慢指针
    int slow = nums[0];
    int fast = nums[0];

    // 寻找相遇点
    do {
        slow = nums[slow];
        fast = nums[nums[fast]];
    } while (slow != fast);

    // 重置其中一个指针，并寻找环的入口点——这里可以想一想为什么：A
    slow = nums[0];
    while (slow != fast) {
        slow = nums[slow];
        fast = nums[fast];
    }

    // 返回环的入口点，即重复的数
    return slow;
}

int main() {
    // 示例用法
    int nums[] = {1, 3, 4, 2, 2};
    int numsSize = sizeof(nums) / sizeof(nums[0]);

    int duplicate = findDuplicate(nums, numsSize);

    printf("Duplicate: %d\n", duplicate);

    return 0;
}

 A：让我们来解释一下为什么这个过程能找到环的入口点：

1. 首次相遇点：当快指针和慢指针首次相遇时，它们分别走过的步数之间存在关系，快指针走过的步数是慢指针的两倍。假设两者相遇时，慢指针走了 k 步，则快指针走了 2k 步，其中 k 是环的长度的整数倍。

2. 重置指针位置：将慢指针重置到数组的第一个元素 nums[0]，保持快指针在相遇点不动。

3. 再次相遇：此时，慢指针从数组头部开始，而快指针还停留在相遇点。它们以相同的速度前进，当慢指针再次走了 k 步时，快指针走了 2k 步，即正好走完了环的若干圈，同时再次相遇。

4. 相遇点即为入口点：再次相遇的点就是环的入口点。这是因为在第一次相遇后，慢指针已经在环内走了若干圈，而重置后再次相遇时，慢指针还需走若干圈才能达到入口点，而快指针已经在环内等待，因此它们在入口点相遇。

这个过程的本质是根据快慢指针相遇时，快指针已经走过的步数是慢指针的两倍的特性，找到环的入口点。这个算法的关键在于数学上的推理，而实际上这种方法是基于龟兔赛跑算法的原理。