三次样条插值

三次样条插值

   设S(x)满足样本点要求，则只需在每个子区间[]上确定1个三次多项式，假设为：

   假设有n个点，需要n-1条线描述，每条线四个未知数， 则未知数个数为4(n-1)。显然中间（n-2）个点具有4个约束条件：




   两端端点存在约束S() = f()，则约束方程有4(n-2)+2=4（n-1）-2，所以，总的未知数个数比方程个数多两个。所以需要额外的两个约束，于是就有了三种边界条件的插值算法。

• 第 1 类边界条件：给定端点处的一阶导数值
• 第 2 类边界条件：给定端点处的二阶导数值
  
• 第 3 类边界条件是周期性条件，如果y＝f(x)是以[xj,xj+1]为周期的函数，于是S(x) 在端点处满足条件
  

推导过程

   S(x) 在 []（j=1,2,⋯,n-1）上是三次多项式，于是S"(x)在[]上是一次多项式，假设S"(x) 在[]（j=1,2,⋯,n-1）两端点上的值已知，设

  其中
  对进行两次积分可得：

  以上是在上求得的同理可求，将同时代入两个函数联立方程，可以求得

  将：

  求导后得：

  同理分别写出,联立等式,简化后可得：

在matlab实现时注意：n个点，n-1条线，以上矩阵是由相邻的两条线的微分方程联立而来（一阶连续），因此方程总个数减少了1，矩阵中有n-2个方程。 另外，用matlab实现时需要注意，matlab中下标从1开始，其他语言下标可能从0开始。