火车运煤问题

　　(本文来自酷壳网：http://coolshell.cn/articles/4429.html)

题目如下:

你是山西的一个煤老板，你在矿区开采了有3000吨煤需要运送到市场上去卖，从你的矿区到市场有1000公里，你手里有一列烧煤的火车，这个火车最多只能装1000吨煤，且其能耗比较大——每一公里需要耗一吨煤。请问，作为一个懂编程的煤老板的你，你会怎么运送才能运最多的煤到集市？

 

这道题一开始看上去好像是无解的，因为你的火车每一公里就要消耗一吨煤，而到目的地有1000公里，而火车最多只能装1000吨媒。如果你的火车可以全部装下，到目的地也会被全部烧光，一丁点也不剩。所以，很多人的第一反应都是觉得这个不太可能。

如果你一开始就觉得不太可能的话，这是很正常的。不过我不知道你还会不会继续思考下去，如果你不想思考下去了，那么我很为你担忧，因为你可能并不是一个不善于思考的人，而是一个畏难的人，还有可能是一个容易放弃的人。这对于你做好 一个需要大量思考的工作的程序员来说可能并不适合。

我一开始也觉得不可能，后来想了一想，想到一个解法可以最多运送500吨煤到市场，方法如下：（希望你先自己想一想再查看这个答案）

 

查看答案如下：

1. 装1000吨煤，走250公里，扔下500吨煤，回矿山。
2. 装1000吨煤，走到250公里处，拿起250吨煤继续向前到500公里处，扔下500吨煤，回矿山。此时火车上还有250吨，再加上在250公里处还有250吨煤，所以，火车是可以回矿山的。
3. 装上最后1000吨煤，走到500公里处，装上那里的500吨煤，然后一直走到目的。

于是，你最多可以运送500吨煤到市场（当然，火车也回不去了，因为那矿山没有煤了）

好像这样很不错的了，不过还有更好的方法能运更多的媒过去。你知道这个方法吗？可以提示的是，就是以上述这个方法的思路。我先暂时不把答案放上来，你可以自己想想。过两天我把答案放上来。

 

更新（2011年4月17日）：大家都很聪明，533是应该是最优解，大家用了很多种方法阐述了这一过程，我最初的想法和朋友xPacificCoolShell的一致！很高兴看到有更为科学的解法，受教了。另外，还有一些朋友提出火车不能随时随地调头的实际情况，非常不错，所以，以后这题不能用火车运煤了，可能是用马运草更好一点了。;)

 

我是这样想的：火车运行时，最好让他满载，起始点记为A
第一步，分三次把煤运送到中间点B
第二步，分两次把煤运送到中间点C
第三步，把煤运送到目的地D
第一步：5*(AB) = 1000；解得AB=200
第二步：3*BC = 1000；解得BC=333.
第三步：AB+BC+CD=1000；解得CD=467
因此，做多运送533吨煤到目的地

刚开始我也想到用中途放下返回的问题，但是如何达到最优值，陷入困难。
经过思考，我的解题思路是这样的：首先，要获得最大值，必须在最远的中间”补给点”放下等同其路程的煤作为补给。所以接下来要做的就是，如何让2000吨煤放到最远的地方，同时留下“补给煤”。因为条件限制，所以只能分两次达成上面的目标，第一个补给点，他要消耗的是他路程的5倍的煤，因为他自己消耗两次，第二次送煤的消耗两次，最后一次直达终点的要消耗一次。所以他要在1/5的地方放下，第一个点已经提供补给，所以第二点要补给3次，他自己两次，最后直达的一次。所以是在200+333的地方放下333.所以最后到达的，应该是200+333 = 533. 总数是其他值也可以推导出来了
编程的例子就是：

int sum = 3000;
int load_num = 1000;

int result = 0;
int time = sum / load_num – 1;
for (int i = time; i > 0 ; –i) {
result += load_num / ((i*2) + 1);
}

 

(来源：http://blog.csdn.net/chentaihan/article/details/6439402)

题目内容：

      你是山西的一个煤老板，你在矿区开采了有3000吨煤需要运送到市场上去卖，从你的矿区到市场有1000公里，你手里有一列烧煤的火车，这个火车最多只能装1000吨煤，且其能耗比较大——每一公里需要耗一吨煤。请问，作为一个懂编程的煤老板的你，你会怎么运送才能运最多的煤到集市？

 

      这是我在《酷壳》看到的一个面试题，主要是被陈浩的几句话给吸引了，还有就是哥比较喜欢思考，想证实一下哥是否适合做程序。

 

火车运煤问题分析

      表面上看这个问题很难实现，因为火车最多只能载1000吨煤，而行驶1000公里刚好把火车上的1000吨煤烧光。
等我们认真思考之后会发现，可以分段运输。如先运1000吨煤行驶100公里，放下800吨再返回，再运1000吨煤到100公里处，
此时车上还有900吨，再加上100吨煤，车上就有1000吨煤，离终点还有900公里，到终点的时候还剩100吨煤。

 

      老实说哥没有天才的IQ，我先是边看《单身男女》边思考这个问题，差不多用了1个小时没有得出一个结果，也没有弄懂怎么来的5x+3y=2000 (y<=1000/3)，以及求x+y的最大值,
      回家在吃饭的时候又突然想起这个问题，又边吃饭边思考这个问题，有时放下碗在本子上画画，差不多用了四五十分钟，
哥突然明白了5x+3y=2000,其实应该是5x+3y>=2000,当然也就明白了x+y的最大值，几分钟之后哥又明白了5x>=1000,
最后得出x=200,y=333.333333时x+y得出最大值533.33333333。
    
                     -->3次                                                      -->2次                                   -->1次
A（起点）--------------------------------B----------------------------------C-----------------------------D（终点）
                     <--2次                                                      <--1次

|--------------------X-----------------------|---------------Y-------------------|--------------Z---------------|

 

为什么是5x+3y>=2000？
      3000/1000=3，将3000吨煤运离原始地点，至少要运三次，因为运输的次数越多烧掉的煤就越多，到终点时剩下的煤就越少，所以把煤运离起始地点一定是3次，也就是5x(往3次，返两次)。
中间必须停在两个地方（B,C）将煤放下，因为到C处的时候，车上的煤最大只能有1000吨，因为火车最多只能运1000吨，多了运不了，用两次运肯定是不可能的。所以从A到C至少烧了3000-1000=2000吨煤，即5x+3y>=2000.

 

 为什么是x+y的最大值？
      在C处剩余的煤最多只有1000吨，离终点越近剩下的煤就越多，所以在x+y取最大值的时候，剩下的煤最大。即剩下的煤=1000-Z=1000-（1000-（x+y））=x+y

 

为什么是5x>=1000?

      同理在B处最多还剩2000吨煤，因为在B处时煤的数量还大于2000时，将这2000多吨煤运离B处至少要三次，三次的情况，我们就认为是A-->B，所以在B处至多只能要剩2000吨，即5x>=3000-200=1000.

 

可能有人会问为什么是3次、2次、1次，而不是3次、一次，同样按照上面的分析，你可以得出3次、1次的情况最多剩余400吨。

 

3000>=5x+3y>=2000
5x>=1000
求x+y的最大值？