SRM 514 DIV1 500pt(DP)

题目简述

给定一个H×W大小的矩阵，每个格子要么是1~9中的一个数，要么是".",要求你把“.”填成具体的数字(1~9),并且符合以下两个要求：

• 对于所有的整数r 和 c( 0 <= r <= H-n,0 <= c < W), 使得 F[r][c] + F[r+1][c] + ... + F[r+n-1][c] 是奇数. 
• 对于所有的整数 r 和c(0 <= r < H,0 <= c <= W-m), 使得 F[r][c] + F[r][c+1] + ... + F[r][c+m-1] 是奇数

题解

    我们可以发现F[r][c]和 F[r+n][c]的奇偶性是一样的，同样F[r][c]和F[c+m]也是同样的奇偶性，那么我们可以把F[r+p*n][c+q*m]的可以放的奇数和偶数的个数统计到odd[r][c]和even[r][c]中，矩阵就压缩成了n*m了！注意如果F[r+p*n][c+q*m]是个确定的数，如果是奇数，那么even[r][c]=0,反之odd[r][c]=0.

  这样问题就转化成了求n×m的矩阵，每行和每列的和都是奇数的方案数！

  接下来我们先预处理出每一行都是奇数和的状态的方案数cnt[i][mask]，然后再进行DP，方程是dp[i][mask1^maks2]+=dp[i-1][mask1]*cnt[i][maks2],第i-1行的列状态数是mask1,第i行选取的行状态是mask2,那么形成的列状态就是mask1^maks2,最后的答案就是dp[n][(1<<m)-1]，(1<<m)-1恰好表示每一列的状态都是奇数。这道题真是很赞，状态设计好巧妙～～，完全想不到啊！

代码：

 1 typedef long long LL;

 2 #define MOD 1000000007

 3 LL odd[15][15], even[15][15];

 4 LL dp[15][1 << 12], cnt[15][1 << 12];

 5 class MagicalGirlLevelTwoDivOne

 6 {

 7 public:

 8     int go(int num)

 9     {

10         int ret = 0;

11         while (num)

12         {

13             ret += num & 1;

14             num >>= 1;

15         }

16         return ret;

17     }

18     int theCount(vector <string> palette, int n, int m)

19     {

20         int x = palette.size(), y = palette[0].size();

21         for (int i = 0; i < n; i++)

22             for (int j = 0; j < m; j++) odd[i][j] = even[i][j] = 1;

23         for (int i = 0; i < x; i++)

24             for (int j = 0; j < y; j++)

25             {

26                 if (palette[i][j] == '.')

27                 {

28                     odd[i % n][j % m] *= 5;

29                     odd[i % n][j % m] %= MOD;

30                     even[i % n][j % m] *= 4;

31                     even[i % n][j % m] %= MOD;

32                 }

33                 else

34                 {

35                     int num = palette[i][j] - '0';

36                     if (num % 2 == 0) odd[i % n][j % m] = 0;

37                     else even[i % n][j % m] = 0;

38                 }

39             }

40         memset(cnt, 0, sizeof(cnt));

41         for (int i = 0; i < n; i++)

42             for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)

43             {

44                 int tot = go(mask);

45                 if (tot % 2 == 0) continue;

46                 cnt[i][mask] = 1;

47                 for (int j = 0; j < m; j++)

48                 {

49                     if (mask & (1 << j))

50                         cnt[i][mask] *= odd[i][j];

51                     else cnt[i][mask] *= even[i][j];

52                     cnt[i][mask] %= MOD;

53                 }

54             }

55         memset(dp, 0, sizeof(dp));

56         dp[0][0] = 1;

57         for (int i = 1; i <= n; i++)

58             for (int mask1 = 0; mask1 < (1 << m); mask1++)

59                 for (int mask2 = 0; mask2 < (1 << m); mask2++)

60                 {

61                     dp[i][mask1 ^ mask2] += (dp[i - 1][mask1] * cnt[i - 1][mask2])%MOD;

62                     dp[i][mask1 ^ mask2] %= MOD;

63                 }

64         return (int)dp[n][(1 << m) - 1];

65     }

66 };