常用算法讲解---迭代法

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 代码

要使计算机能完成人们预定的工作，首先必须为如何完成预定的工作设计一个算法，然后再根据算法编写程序。计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量用来描述问题的对象，程序结构、函数和语句用来描述问题的算法。算法数据结构是程序的两个重要方面。
算法是问题求解过程的精确描述，一个算法由有限条可完全机械地执行的、有确定结果的指令组成。指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。计算机按算法指令所描述的顺序执行算法的指令能在有限的步骤内终止，或终止于给出问题的解，或终止于指出问题对此输入数据无解。
通常求解一个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。其次是算法所需要的存储空间少和执行更快等。
算法设计是一件非常困难的工作，经常采用的算法设计技术主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等等。另外，为了更简洁的形式设计和藐视算法，在算法设计时又常常采用递归技术，用递归描述算法。
一、迭代法 
     迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x) = 0 ，用某种数学方法导出等价的形式x = g(x)，然后按以下步骤执行：
（ 1 ）   选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（ 2 ）   将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（ 3 ）   当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（ 2 ）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
【算法】迭代法求方程的根
{    x0 = 初始近似根；
    do  {
      x1 = x0；
      x0 = g(x1)；    /* 按特定的方程计算新的近似根 */
      }  while  ( fabs(x0 - x1) > Epsilon)；
   printf(“方程的近似根是 % f\n”，x0)；
}
迭代算法也常用于求方程组的根，令
      X = （x0，x1，…，xn - 1 ）
设方程组为：
      xi = gi(X)      (I = 0 ， 1 ，…，n - 1 )
则求方程组根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程组的根
   {     for  (i = 0 ;i < n;i ++ )
         x[i] = 初始近似根;
       do  {
          for  (i = 0 ;i < n;i ++ )
            y[i] = x[i];
          for  (i = 0 ;i < n;i ++ )
            x[i] = gi(X);
          for  (delta = 0.0 ,i = 0 ;i < n;i ++ )
             if  (fabs(y[i] - x[i]) > delta)      delta = fabs(y[i] - x[i])；
         }  while  (delta > Epsilon)；
       for  (i = 0 ;i < n;i ++ )
         printf(“变量x[ % d]的近似根是  % f”，I，x[i])；
      printf(“\n”)；
   }
   具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（ 1 ）   如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；
（ 2 ）   方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。