无穷级数

设(u_n)是一个无穷序列 ：u₁,u₂,u₃,...u_n,...

其前n项的和称为的部分和：S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n

由此得出另一个无穷序列：s₁,s₂,s₃,...s_n,...

这两个序列合称为一个级数，记作或者

如果当n趋于正无穷大时，s_n趋向一个有限的极限：，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。这时可以定义级数的余项和：R_n = S − S_n。

 

例子

• 几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：

一般来说，几何级数收敛当且仅当 |z| < 1。

• 调和级数是指通项为 的级数：

它是发散的。（参见主条目调和级数 ）