多边形入门 ——toj1813 A Round Peg in a Ground Hole
题目大意：
平面上有一个多边形的孔，给定一个圆形钉子的圆心坐标和半径，问能否放进去。如果孔是多边形则输出“HOLE IS ILL-FORMED“，否则输出能否放进去。
首先，我们需要判断一个多边形是不是凸多边形。我们只需要枚举各个边，看其他所有顶点是不是在它的同测。但是需要注意一个问题，有可能数据中有三点共线，开始我就是坐在这里挂了。代码如下：
{
int t,tt,pre;
for (t = 0 ;t < n;t ++ )
{
tt = 0 ;
while (pre = sign(crossP(vpt[t],vpt[(t + 1 ) % n],vpt[(t + 2 + tt) % n])),pre == 0 )
tt ++ ;
for (;tt < n - 2 ;tt ++ )
{
double d = crossP(vpt[t],vpt[(t + 1 ) % n],vpt[(t + 2 + tt) % n]);
if (sign(d) == 0 )
continue ;
if (sign(d) != pre)
return false ;
}
}
return true ;
}
接下来，我们就需要考虑一个多边形里头能不能放下一个指定的圆了。简单分析一下：
问题的实质是一个点到各个边的距离大于等于半径，而且点在多边形内。
先看距离问题，我首先想到的是集训时讲到的判断点到线段的距离，只要点到所有边的距离都大于半径就可以了。那么这样写首先要判断点在线段所在直线的投影跟线段的关系，如果在线段上，则返回垂足到点的距离，否则返回两端点到点的距离的最小值。这需要判断点的投影跟线段的关系，需要求垂足，比较复杂。
在fifth的提示下，得到如下思路:
我们可以知道，只要圆的半径小于等于圆心到各边距离的最小值即可放入钉子。如果A点的投影在线段CB之外，比如F。那么|AF|>|AC|。但是很显然，|AE|>|AF|。那么我们需要用来比较的那个最小值并不会因此改变。所以，我们只需要在点到各边所在直线的距离中找出最小值，这个最小值必然等于我们最开始需要找的那个最小值。至此，问题大大化简。
接着，我么考虑边判断点是否早多边形内。
由于题目的特殊性，我们在此题中只需判断一个点是否在凸多边形内。如果注意到这点，就不必考虑复杂的凹多边形。那么，只要判断该点是否在所有边的同侧即可。代码如下：
{
int t;
PT st,end;
int dr = sign(crossP(vpt[ 0 ],vpt[ 1 ],pt));
for (t = 1 ;t < n;t ++ )
{
st = vpt[t];
end = vpt[(t + 1 ) % n];
if (sign(crossP(st,end,pt)) != dr)
return false ;
}
return true ;
}
那么最后，判断是否适合的函数可以这么写：
{
if ( ! inPoly(vpt,pt))
return false ;
int t,tt;
PT st,end;
for (t = 0 ;t < n;t ++ )
{
st = vpt[t];
end = vpt[(t + 1 ) % n];
double d = fabs(crossP(st,end,pt)) / dis(st,end);
if (sign(R - d) == 1 )
return false ;
}
return true ;
总结一下：
最大的收获是，对于一个几何题目，要充分发掘其几何性质，不要看到一个问题就想套用模板。多思考一下往往能够比模板带来更大的方便。另外，几何题目一定要考虑完全特殊情况，边界情况，才能做到万无一失。