原根学习小记

(1)在数论,特别是整除理论中,原根是一个很重要的概念。

对于两个正整数,由欧拉定理可知,存在正整数, 比如说欧拉函数,即小于等于 m 的正整数中与 m 互质的正整数的个数,使得。由此,在时,定义对模的指数为使成立的最小的正整数。由前知 一定小于等于 ,若,则称是模的原根

设,则等于6。

  • 设,由于,而,所以 2 不是模 7 的一个原根。
  • 设,由于,,,,,,因此有,所以 3 是模 7 的一个原根。

(2)原根的一些性质

  • 可以证明,如果正整数和正整数 d 满足,则 d 整除 。因此整除。在例子中,当时,我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。
  • 记,则模 m 两两不同余。因此当是模的原根时,构成模 m 的简化剩余系。
  • 模有原根的充要条件是,其中是奇质数,是任意正整数。

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