欧拉函数介绍

比赛的时候做了一道欧拉函数的题目，所以想在这里整理一下定义。

网上资料链接1

网上资料链接2

1. 定义：在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function，例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
2. φ函数的值 　通式：φ(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1) = 1 （唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4。若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
   欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
3. 证明 ： 设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，A*B和C可建立一一对应的关系。因此φ(n)的值使用算术基本定理便知，若n= ∏p^(α（下标p）)p|n，则φ(n)=∏(p-1)p^(α（下标p）-1)=n∏(1-1/p)p|n p|n，例如φ(72)=φ(2^3×3^2)=(2-1)2^(3-1)×(3-1)3^(2-1)=24
   与欧拉定理、费马小定理的关系 ：   对任何两个互质的正整数a, m, m>=2有a^φ(m)≡1(mod m) 即欧拉定理
   当m是质数p时，此式则为： a^(p-1)≡1(mod m) 即费马小定理。

4. 资料2   三个引理：

   1、对于某一素数p，则φ(p)=p-1

   2、对于某一素数p的幂次p^a,φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)

   3、对于某一合数n可分解为两个素数之积a*b，则φ(n)=φ(a)*φ(b)

   证明：

   对于p^a-1个比p^a小的数，其中所有p的倍数可以表示为t*p{t=1,2,3,…,p^(a-1)-1}，所以φ(p^a)=p^a-1(-p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1)

   在比a*b小的a*b-1个整数中，只有那些既与a互质、又与b互质的数才会满足与a*b互质，而显然满足条件的有φ(a)*φ(b)个数，所以φ(a*b)=φ(a)*(b)

    

   扩展引理：

   (p1^a1)*(p2^a2)*(p3^a3)*…*(pk^ak)为正整数n的素数幂表示形式，那么有φ（n）=φ(p1^a1)*φ(p2^a2)*φ(p3^a3)*…*φ(pk^ak)

5. 模板 ：

    1 int eular(int x)
   
    2 {
   
    3     int  res = x;
   
    4     for (int i =2; i < (int) sqrt(x *1.0) +1; i++)
   
    5     {
   
    6         if (x % i ==0)
   
    7         {
   
    8             res = res / i * (i -1);
   
    9             while (x % i ==0)
   
   10                 x /= i; // 保证i一定是素数
   
   11         }
   
   12     }
   
   13     if (x > 1)
   
   14         res = res / x * (x -1);
   
   15     return res ;
   
   16 }