HDU 4089 Activation（概率DP）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4089

题意：n个人排成一队，小白排在第m个。对于队头的人，有四种可能:

（1）概率p1，保持不动；

（2）概率p2，换到队尾，第二个人成为队头；

（3）概率p3，走了，再也不回来了，第二个人成为队头；

（4）概率p4，游戏结束。

求结束时小白的排名小于等于K的概率。

思路：设dp[i][j]表示i个人的队，小白在第j个，此状态到达满足题意状态时的概率。那么dp[n][m]就是答案。

    j=1,dp[i][j]=p1*dp[i][j]+p2*dp[i][i]+p4

2<=j<=k,dp[i][j]=p1*dp[i][j]+p2*dp[i][j-1]+p3*dp[i-1][j-1]+p4

    j>k,dp[i][j]=p1*dp[i][j]+p2*dp[i][j-1]+p3*dp[i-1][j-1]

我们令p21=p2/(1-p1),p31=p3/(1-p1),p41=p4/(1-p1)，那么有:

        j=1,dp[i][j]=p21*dp[i][i]+p41

2<=j<=k,dp[i][j]=p21*dp[i][j-1]+p31*dp[i-1][j-1]+p41

       j>k,dp[i][j]=p21*dp[i][j-1]+p31*dp[i-1][j-1]

如果我们从小到大计算dp[i]，那么在计算dp[i]的时候dp[i-1]是已知的，将dp[i-1]作为常数，不妨设为c，那么我们有：

        j=1,c[j]=p41

2<=j<=k,c[j]=p31*dp[i-1][j-1]+p41

        j>k,c[j]=p31*dp[i-1][j-1]

这样化为：

        j=1,dp[i][j]=p21*dp[i][i]+c[j]

2<=j<=k,dp[i][j]=p21*dp[i][j-1]+c[j]

       j>k,dp[i][j]=p21*dp[i][j-1]+c[j]

这样就是一个方程组。下面解之。

int n,m,K;

double p1,p2,p3,p4,dp[N][N],Pow[N],c[N];







int main()

{

    Rush(n)

    {

        RD(m,K); RD(p1,p2,p3,p4);

        if(p4<EPS)

        {

            puts("0.00000");

            continue;

        }

        double p21=p2/(1-p1),p41=p4/(1-p1),p31=p3/(1-p1);

        int i,j;

        Pow[0]=1;

        FOR1(i,n) Pow[i]=Pow[i-1]*p21;

        dp[1][1]=p41/(1-p21);

        double temp;

        FOR(i,2,n)

        {

            c[1]=p41;

            FOR(j,2,K) c[j]=p31*dp[i-1][j-1]+p41;

            FOR(j,K+1,i) c[j]=p31*dp[i-1][j-1];

            temp=0;

            FOR1(j,i) temp+=c[j]*Pow[i-j];

            dp[i][i]=temp/(1-Pow[i]);

            dp[i][1]=p21*dp[i][i]+c[1];

            FOR(j,2,i) dp[i][j]=p21*dp[i][j-1]+c[j];

        }

        PR(dp[n][m]);

    }

    return 0;

}