【C++】2024.03.23题目——求最大积——将n分解为若干个正整数之和，求分解方案中乘积的最大值。

题目

求最大积
【问题描述】
输入正整数n（n<100000），将n分解为若干个正整数之和，求分解方案中乘积的最大值。
【输入格式】
只有一行，就是正整数n。
【输出格式】
只有一行，乘积的最大值。
【样例输入】
15
【样例输出】
243

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分析

题意：将一个数分成若干个数，使它们的乘积最大。

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思路

我最初的思路：

我们先假设只用拆成两个加数，那么这两个数越接近，它们的乘积越大。
那么我们拆开得的两个数也可以继续拆分呀，所以我们一直重复以上的步骤即可。

举个例子画二叉树：

第3轮拆分

第2.1轮拆分

第2.2轮拆分

第1轮拆分

输入的数字

1

1

2

1

1

1

2

3

5

在此二叉树中，我们可以找到最大乘积3*2=6。

但是，我们从上往下拆分数字非常麻烦，如上图都出现了第2.1轮、第2.2轮拆分。

那么我们不妨换一个思路，不是从下往上遍历，而是分组：

我们不难发现，在如上拆分15的过程中，包含了两次拆分2、一次拆分3；

那么，我们就可以从最小的数字（2）开始往大（直到遍历到了输入的数字）的遍历，每次遍历，就找到并求出遍历的当前数字下两个数的最大乘积，然后贴心的存储在一个数组中备用；

后面遍历到的更大的数字就可以直接调用前面备用好的最大乘积。

如下图，区域B与区域C重复，那么我们就可以将区域B（或区域C）的值提前保存到一个数组当中，
当执行区域A时，就可以直接从数组中拿备用好的区域B（或区域C）的值，就不需要多次重复执行了。

区域A

区域B

区域C

4

2

2

1

1

1

1

于是，我们运行程序后得到的数组基本就是这样的：

数字	该数字下找到的最大乘积
2	1*1=2
3	1*2=3
4	2*2=4
5	2*3=6
6	3*3=9
……	……

很明显有一个问题：一个数字本身也可以是它自己的加数。
这也不难，给数组赋值时加一个判断即可。
那么最后得到的数组就长这样：

下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
值	1	2	3	4	6	9	12	16	24	36	54	81	108	144	192

很遗憾，思路对了，答案错了。
考试后我恍然大悟改改正了一点思路和代码：

15的最大乘积是$243$，即是$3^5$。这可不是说要用到五叉树，其实二叉树是可以实现的。

回顾我们最初的思路，要找到两个最接近的数，其实这就很像完全二叉树；而15这个例子是不完全二叉树：$15=6+9=(3+3)+(3+6)=(3+3)+(3+(3+3))=3+3+3+3+3$

15

6

9

3

3

3

6

3

3

看，第一步就是不完全的。

不过好在，这个问题很好改——前面是直接找最接近的数字，直接除以二；现在把这一步改成循环，遍历当前二叉树的所有可能，然后在循环内层求积，并每次取最大值即可。

这样我们就能成功且正确的得到：

下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
值	1	2	3	4	6	9	12	18	27	36	54	81	108	162	243

完美。（当然，绝对的完美还需要配合上高精度。）

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代码

0. 主函数先写上

   int main(){
   	return 0;
   }
   

   ---

1. 就依题意，先输入n。
   因为我不展示用高精度，所以我就用long long类型。

   #include	//scanf()
   long long n;
   int main(){
   	scanf("%lld", &n);
   	return 0;
   }
   

   ---

2. 接下来就可以遍历1（或2）到n找最大乘积了。

   #include	//scanf()
   #include		//fmax()
   long long n, s[100001];
   int main(){
   	scanf("%lld", &n);
   	for(int i=1; i<=n; i++){
   		s[i]=i;
   		for(int j=1; j<=i/2; j++){
   			s[i]=fmax(s[j]*s[i-j], s[i]);
   		}
   	}
   	return 0;
   }
   

   首先，把遍历到的数赋值给数组的当前位，然后遍历当前数字下的所有可能的二叉树，不断取最大值。

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3. 最后，很愉快地输出数组第n位即可！

   #include	//scanf(), printf()
   #include		//fmax()
   long long n, s[100001];
   int main(){
   	scanf("%lld", &n);
   	for(int i=1; i<=n; i++){
   		s[i]=i;
   		for(int j=1; j<=i/2; j++){
   			s[i]=fmax(s[j]*s[i-j], s[i]);
   		}
   	}
   	printf("%lld", s[n]);
   	return 0;
   }
   

   ---

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答案

（满分答案肯定是要用到高精度的；我这里只讲代码思路，所以用的是低精度。）

#include
#include
long long n, s[100001];
int main(){
	scanf("%lld", &n);
	for(int i=1; i<=n; i++){
		s[i]=i;
		for(int j=1; j<=i/2; j++){
			s[i]=fmax(s[j]*s[i-j], s[i]);
		}
	}
	printf("%lld", s[n]);
	return 0;
}

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尾声

这次是自学（现场自己推导）二叉树啊（我现在还没学二叉树呢），我还不知道我这是不是正宗的二叉树。下次上课时听老师讲讲这道题。

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附

高精度加减法
高精度乘法

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