强连通分量——tarjan算法缩点

一. 什么是强连通分量？

强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点u,v间（u->v）有一条从u到v的有向路径，同时还有一条从v到u的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。
简单点说就是：如果一个有向图中，存在一条回路，所有的结点至少被经过一次，这样的图为强连通图。
在强连图图的基础上加入一些点和路径，使得当前的图不在强连通，称原来的强连通的部分为强连通分量。

二. 强连通分量有什么用途呢？

在图论中，我们可以利用强连通分量进行缩点，从而可以减少很多不必要的操作，降低程序的时间复杂度。

三. tarjan求强连通分量

在讲tarjan算法之前我们先来讲几个概念：
1.树枝边：x是y的父节点，那么x到y的边称为树枝边。
2.前向边：x是y的祖先节点，那么x到y的边称为前向边。
3.后向边：y是x的的祖先节点，那么y到x的边称为后向边。
4.横叉边：x是y的祖先节点，并且y能到达已经搜过的点，那么这条边被称为横叉边。
根据定义可以得知：树枝边也是一个特殊的前向边。
我们在深度优先搜索的时候是从上向下搜的，所以画图看一下(自己画的图，可能有点丑 )

知道这些定义后，我们来看一下tarjan算法是如何求强连通分量的。
在这里，我们引入一个时间戳的概念：在深度优先搜索的时候，当前结点x是第几个被搜索到的，记为df[x]。
对于每一个结点，我们定义两个时间戳。
df[x]:x结点是第几个被搜索到的。
low[x]:从x结点开始搜索，能搜索到深度最低的结点是什么，也就是能搜索到时间戳最小的结点。
在搜索的时候我们该如何判断是一个新的强连通分量呢？
如果一个图是强连通的话，那么必然会搜完他图中的所有结点，并且从任意一个结点到达另一个结点，所以强连通分量中的点都可以遍历到时间戳更小的点。
所以我们可以发现，如果一个结点的df[]==low[]的话，那么说明这个结点是不能搜到比自己的时间戳更小的点了。说明什么呢？说明该节点就是一个强连通分量的最高点，也就是一个新的强连通分量。

下面放入一个题（受欢迎的牛）：

每一头牛的愿望就是变成一头最受欢迎的牛。

现在有 N 头牛，编号从 1 到 N，给你 M 对整数 (A,B)，表示牛 A 认为牛 B 受欢迎。

这种关系是具有传递性的，如果 A 认为 B 受欢迎，B 认为 C 受欢迎，那么牛 A 也认为牛 C 受欢迎。

你的任务是求出有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

输入格式
第一行两个数 N,M；

接下来 M 行，每行两个数 A,B，意思是 A 认为 B 是受欢迎的（给出的信息有可能重复，即有可能出现多个 A,B）。

输出格式
输出被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的牛的数量。

数据范围
1≤N≤10^4,
1≤M≤5×10^4
输入样例：
3 3
1 2
2 1
2 3
输出样例：
1
样例解释
只有第三头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的。

这题乍一看是传递闭包，第一时间会想到Floyd，但是看了数据范围之后发现传递闭包会超时，所以Floyd是不可行的。

我们用强连通分量来做。
题意:a->b且b->c，则a->c

要求的是有多少头牛被除自己之外的所有牛认为是受欢迎的(受欢迎的牛可以被其他的牛走到)。

总结：当一个强连通的出度为0,则该强连通分量中的所有点都被其他强连通分量的牛欢迎，但假如存在两及以上个出度=0的牛(强连通分量) 则必然有一头牛(强连通分量)不被所有牛欢迎。

AC代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int N=1e4+10,M=5*N;

int h[N],e[M],ne[M],idx;  //邻接表
int id[N];   //id[x]:x结点属于第几个强连通分量
int cnt,times;  //cnt:强连通分量的个数,times:时间戳
int n,m;
bool st[N];  //st[x]:x结点是否在栈中
int df[N],low[N];  //df[x]:x结点第一次被搜索到的时间戳,low[x]:x结点能遍历到最高的点
int sizes[N];  //sizes[x]:第x强连通分量中点的个数
int stack[N],top;  //这里我们用数组模拟栈
int dout[N];  //dout[x]:第x个强连通分量的出度

void add(int a,int b){
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

void tarjan(int u){
    //当前点的时间戳
    df[u]=low[u]=++times;
    //把u点入栈
    stack[++top]=u;
    st[u]=true;
    //遍历u结点能到的点
    for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
        int j=e[i];
        if(!df[j]){  //如果没有遍历过,那么就遍历它
            tarjan(j);
            low[u]=min(low[u],low[j]);
        }
        else if(st[j]) low[u]=min(low[u],low[j]);  //如果在栈中
    }
    
    //找到一个强连通分量
    if(df[u]==low[u]){
        cnt++;
        int t=stack[top--];
        id[t]=cnt;
        st[t]=false;
        sizes[cnt]++;
        while(t!=u){
            t=stack[top--];
            id[t]=cnt;
            st[t]=false;
            sizes[cnt]++;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!df[i]){
            tarjan(i);
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=h[i];j!=-1;j=ne[j]){
            int t=e[j];
            int a=id[i],b=id[t];  //a:i结点所在的强连通分量,b:t结点所在的强连通分量
            if(a!=b) dout[a]++;  //因为是a->b,所以a的出度++
        }
    }
    
    int zero=0;  //出度为0点的个数
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if(!dout[i]){
            sum+=sizes[i];
            zero++;
        }
    }
    
    if(zero>1) printf("%d",0);
    else printf("%d",sum);
    
    return 0;
}