关于一些博弈算法的总结

在学习acm做题的时候,遇到了很多的关于博弈的题目,下面做个总结:

1.威佐夫博奕

(1)内容:威佐夫博弈(Wythoff Game):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

  这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为  奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。

  可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。

 

(2)性质:

 

  1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

  证明:由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有a[k] > a[k-1] ,而 bk= a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1] 。所以性质1成立。

  2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

  证明:若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差  不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。

  3.采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

  假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk 那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如  果 a = ak , b < bk 则同时从两堆中拿走a-a[b-a] 个物体变为奇异局势( a[b-a], b-a+a[b-a]);如果a > ak ,b= ak + k 则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;  如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k)从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k)从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

(3)结论:

  两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。

  那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
  ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...n 方括号表示取整函数)
  奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1.618...因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若   a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,b = aj + j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局  势。
(4)例题
  POJ1067

  Description

  有两堆石子,数量任意,可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两堆中同时取  走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到你先取,假设双方都采取最好的策略,问最后你是胜者还是败者。

  Input

  输入包含若干行,表示若干种石子的初始情况,其中每一行包含两个非负整数a和b,表示两堆石子的数目,a和b都不大于1,000,000,000。

  Output

  输出对应也有若干行,每行包含一个数字1或0,如果最后你是胜者,则为1,反之,则为0。

  Sample Input

  2 1

  8 4

  4 7

  Sample Output

  0

  1

  0

  Accept Code: 

#include <stdio.h>

#include <math.h>



int main() {

    int a, b, k;

    while(~scanf("%d%d", &a, &b)) {

        if(a > b)

            a ^= b ^= a ^= b;

        k = b - a;

        if(a == floor(k * (sqrt(5.0) + 1) / 2))

            printf("0\n");

        else

            printf("1\n");

    }

    return 0;

}
View Code

 

  博弈的题目还有很多,以后遇到了再添加。

 

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