排列组合数的一些公式

绪论:加法原理、乘法原理#

分类计数原理:做一件事,有 n n 类办法,在第 1 1 类办法中有 m1 m 1 种不同的方法,在第 2 2 类办法中有 m2 m 2 种不同的方法,…,在第 n n 类办法中有 mn m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2++mn N = m 1 + m 2 + … + m n 种不同的方法。

分步计数原理:完成一件事,需要分成 n n 个步骤,做第 1 1 步有 m1 m 1 种不同的方法,做第 2 2 步有 m2 m 2 种不同的方法,…,做第 n n 步有 mn m n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2××mn N = m 1 × m 2 × ⋯ × m n 种不同的方法。

区别:分类计数原理是加法原理,不同的类加起来就是我要得到的总数;分步计数原理是乘法原理,是同一事件分成若干步骤,每个步骤的方法数相乘才是总数。

排列问题#

排列数#

n n 个不同元素种取出 m(mn) m ( m ≤ n ) 个元素的所有不同排列的个数,叫做从 n n 个不同元素种取出 m m 个元素的排列数,用符号 Amn A n m 表示。

排列数公式#

Amn=n(n1)(n2)(nm+1)=n!(nm)!,n,mN,并且mn A n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! , n , m ∈ N ∗ , 并且 m ≤ n

(规定 0!=1 0 ! = 1 )

推导:把 n n 个不同的元素任选 m m 个排序,按计数原理分步进行

取第一个:有 n n 种取法;
取第二个:有 (n1) ( n − 1 ) 种取法;
取第三个:有 (n2) ( n − 2 ) 种取法;
……
取第 m m 个:有 (nm+1) ( n − m + 1 ) 种取法;

根据分步乘法原理,得出上述公式。

排列数性质#

Amn=nAm1n1 A n m = n A n − 1 m − 1 可理解为“某特定位置”先安排,再安排其余位置。

Amn=mAm1n1+Amn1 A n m = m A n − 1 m − 1 + A n − 1 m 可理解为:含特定元素的排列有 mAm1n1 m A n − 1 m − 1 ,不含特定元素的排列为 Amn1 A n − 1 m

组合问题#

组合数#

n n 个不同元素种取出 m(mn) m ( m ≤ n ) 个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n n 个不同元素种取出 m m 个元素的组合数,用符号 Cmn C n m 表示。

组合数公式#

Cmn=AmnAmm=n(n1)(n2)(nm+1)m!=n!m!(nm)!,n,mN,并且mn C n m = A n m A m m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) m ! = n ! m ! ( n − m ) ! , n , m ∈ N ∗ , 并且 m ≤ n
C0n=Cnn=1 C n 0 = C n n = 1

证明:利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。

将部分排列问题 Amn A n m 分解为两个步骤:

第一步,就是从 n n 个球中抽 m m 个出来,先不排序,此即组合数问题 Cmn C n m

第二步,则是把这 m m 个被抽出来的球排序,即全排列 Amm A m m

根据乘法原理, Amn=CmnAmm A n m = C n m A m m ,那么

Cmn=AmnAmm=n(n1)(n2)(nm+1)m!=n!m!(nm)! C n m = A n m A m m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) m ! = n ! m ! ( n − m ) !

组合数的性质#

Cmn=Cnmn C n m = C n n − m 可以理解为:将原本的每个组合都反转,把原来没选的选上,原来选了的去掉,这样就变成从 n n 个元素种取出 nm n − m 个元素,显然方案数是相等的。

递推公式 Cmn=Cmn1+Cm1n1 C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1 可理解为:含特定元素的组合有 Cm1n1 C n − 1 m − 1 ,不含特定元素的排列为 Cmn1 C n − 1 m 。还不懂?看下面。

Example

从1,2,3,4,5( n=5 n = 5 )中取出2( m=2 m = 2 )个元素的组合( Cmn C n m ):

12 13 14 15 23 24 25 34 35 45

显然,这些组合中要么含有元素“1”,要么不含。

  • 其中含有“1”的是:12 13 14 15

    把里面的“1”都挖掉:2 3 4 5

    而上面这个等价于从2,3,4,5( n1 n − 1 )中取出1( m1 m − 1 )个元素的组合。

  • 其中不含“1”的是:23 24 25 34 35 45
    上面等价于从2,3,4,5( n1 n − 1 )中取出2( m m )个元素的组合。

而总方案数等于上面两种情况方案数之和,即 Cmn=Cmn1+Cm1n1 C n m = C n − 1 m + C n − 1 m − 1

组合数求和公式#

C0n+C1n+C2n++Cnn=2n C n 0 + C n 1 + C n 2 + ⋯ + C n n = 2 n

我们感性认知一下,上面这个式子的左边表示什么呢?

把从 n n 个球中抽出 0 0 个球的组合数(值为 1 1 )、抽出 1 1 个球的组合数、抽出 2 2 个球的组合数、……、抽出 n n 个球的组合数相加。

换句话说,就是从 n n 个球中随便抽出一些不定个数球,问一共有多少种组合。

对于第1个球,可以选,也可以不选,有2种情况。
对于第2个球,可以选,也可以不选,有2种情况。
对于任意一个球,可以选,也可以不选,有2种情况。

根据乘法原理,一共 2×2××2n个2相乘=2n 2 × 2 × ⋯ × 2 ⏟ n 个2相乘 = 2 n 种组合。

想要严谨的证明?数学归纳法:

  1. n=1 n = 1 时, C01+C11=2=21 C 1 0 + C 1 1 = 2 = 2 1 成立。
  2. 假设 n=k(kN) n = k ( k ∈ N ∗ ) 时等式成立,即
    i=0kCik=2n ∑ i = 0 k C k i = 2 n
    n=k+1 n = k + 1 时,
    ====C0k+1+C1k+1+C2k+1++Ckk+1+Ck+1k+1C0k+1+(C0k+C1k)+(C1k+C2k)++(Ck1k+Ckk)+Ck+1k+1(C0k+C1k+C2k++Ckk)+(C0k+C1k+C2k++Ckk)2×2k2k+1 C k + 1 0 + C k + 1 1 + C k + 1 2 + ⋯ + C k + 1 k + C k + 1 k + 1 = C k + 1 0 + ( C k 0 + C k 1 ) + ( C k 1 + C k 2 ) + ⋯ + ( C k k − 1 + C k k ) + C k + 1 k + 1 = ( C k 0 + C k 1 + C k 2 + ⋯ + C k k ) + ( C k 0 + C k 1 + C k 2 + ⋯ + C k k ) = 2 × 2 k = 2 k + 1
  3. 由1、2得,等式对 nN n ∈ N ∗ 都成立。

也可偷懒地用二项式定理证明:

(a+b)n=k=0nCknankbk ( a + b ) n = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k

a=b=1 a = b = 1 ,就得到了

i=0nCin=2n ∑ i = 0 n C n i = 2 n

类似的公式(由 Cmn=Cnmn C n m = C n n − m 推导):

C0n+C2n+C4n+=C1n+C3n+C5n+=2n1 C n 0 + C n 2 + C n 4 + ⋯ = C n 1 + C n 3 + C n 5 + ⋯ = 2 n − 1

杨辉三角#

这个神奇的图形和组合数、二项式定理密切相关。(图片来自百度百科)

排列组合数的一些公式_第1张图片

杨辉三角可以帮助你更好地理解和记忆组合数的性质:

  1. n n 行的 m m 个数可表示为 Cm1n1 C n − 1 m − 1 ,即为从 n1 n − 1 个不同元素中取 m1 m − 1 个元素的组合数。
  2. n n 行的数字有 n n 项。
  3. 每行数字左右对称(第 n n 行的第 m m 个数和第 nm+1 n − m + 1 个数相等, Cmn=Cnmn C n m = C n n − m ),由 1 1 开始逐渐变大。
  4. 每个数等于它上方两数之和(第 n+1 n + 1 行的第 i i 个数等于第 n n 行的第 i1 i − 1 个数和第 i i 个数之和,即 Cin+1=Cin+Ci1n C n + 1 i = C n i + C n i − 1 )。
  5. (a+b)n ( a + b ) n 的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第 n+1 n + 1 行中的每一项(二项式定理)。

以下来自维基百科(我只是随便贴这)

二项式系数

二项式系数可排列成帕斯卡三角形。
在数学上,二项式系数是二项式定理中各项的系数。一般而言,二项式系数由两个非负整数 n n k k 为参数决定,写作,定义为的多项式展开式中,项的系数,因此一定是非负整数。如果将二项式系数写成一行,再依照顺序由上往下排列,则构成帕斯卡三角形。 (nk)(1+x)nxk(n0),(n1),,(nn)n=0,1,2, ( n k ) ( 1 + x ) n x k ( n 0 ) , ( n 1 ) , … , ( n n ) n = 0 , 1 , 2 , …

二项式系数常见于各数学领域中,尤其是组合数学。事实上,可以被理解为从 n n 个相异元素中取出 k k 个元素的方法数,所以大多读作「 n n k k 」。二项式系数的定义可以推广至 n n 是复数的情况,而且仍然被称为二项式系数。

二项式系数亦有不同的符号表达方式,包括: C(n,k) C ( n , k ) nCk n C k nCk n C k 、、[注3],其中的C代表组合(combinations)或选择(choices)。很多计算机使用含有C的变种记号,使得算式只占一行的空间,相同理由也发生在置换数,例如写作 P(n,k) P ( n , k ) CknCnkPnk C n k C k n P k n

定义及概念
对于非负整数 n n k k ,二项式系数定义为的多项式展开式中,项的系数,即 (nk)(1+x)nxk ( n k ) ( 1 + x ) n x k

(1+x)n=k=0n(nk)xk=(n0)+(n1)x++(nn)xn ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k = ( n 0 ) + ( n 1 ) x + ⋯ + ( n n ) x n
事实上,若 x x y y 为交换环上的元素,则

(x+y)n=nk=0(nk)xnkyk ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k

此数的另一出处在组合数学,表达了从 n n 物中,不计较次序取 k k 物有多少方式,亦即从一 n n 元素集合中所能组成 k k 元素子集的数量。

计算二项式系数

除展开二项式或点算组合数量之外,尚有多种方式计算的值。 (nk) ( n k )

递归公式
以下递归公式可计算二项式系数:

(nk)=(n1k1)+(n1k)n,kN ( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) ∀ n , k ∈ N

其中特别指定:

(n0)=1nN{0},(0k)=0kN ( n 0 ) = 1 ∀ n ∈ N ∪ { 0 } , ( 0 k ) = 0 ∀ k ∈ N .

此公式可由计算(1 + X ) n −1 (1 + X )中的X k项,或点算集合{1, 2, ..., n }的k个元素组合中包含n与不包含n的数量得出。

显然,如果k > n,则。而且对所有n,,故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形。 \tbinom nk=0\tbinom nn=1

帕斯卡三角形(杨辉三角)

有关二项式系数的恒等式

关系式

阶乘公式能联系相邻的二项式系数,例如在k是正整数时,对任意n有:

(n+1k)=(nk)+(nk1) ( n + 1 k ) = ( n k ) + ( n k − 1 )
(nk)=nk(n1k1) ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 )
(n1k)(n1k1)=n2kn(nk) ( n − 1 k ) − ( n − 1 k − 1 ) = n − 2 k n ( n k )

两个组合数相乘可作变换:

(ni)(im)=(nm)(nmim) ( n i ) ( i m ) = ( n m ) ( n − m i − m )
r=0n(nr)=2n ∑ r = 0 n ( n r ) = 2 n
r=0k(n+r1r)=(n+kk) ∑ r = 0 k ( n + r − 1 r ) = ( n + k k )
r=0nk(1)r(n+1)k+r+1(nkr)=(nk)1 ∑ r = 0 n − k ( − 1 ) r ( n + 1 ) k + r + 1 ( n − k r ) = ( n k ) − 1
r=0n(dndr)=1dr=1d(1+e2πrid)dn ∑ r = 0 n ( d n d r ) = 1 d ∑ r = 1 d ( 1 + e 2 π r i d ) d n
i=mn(a+ii)=(a+n+1n)(a+mm1) ∑ i = m n ( a + i i ) = ( a + n + 1 n ) − ( a + m m − 1 )
(a+mm1)+(a+mm)+(a+m+1m+1)+...+(a+nn)=(a+n+1n) ( a + m m − 1 ) + ( a + m m ) + ( a + m + 1 m + 1 ) + . . . + ( a + n n ) = ( a + n + 1 n )
Fn=i=0(nii) F n = ∑ i = 0 ∞ ( n i i )
Fn1+Fn=i=0(n1ii)+i=0(nii)=1+i=1(nii1)+i=1(nii)=1+i=1(n+1ii)=i=0(n+1ii)=Fn+1 F n − 1 + F n = ∑ i = 0 ∞ ( n − 1 − i i ) + ∑ i = 0 ∞ ( n − i i ) = 1 + ∑ i = 1 ∞ ( n − i i − 1 ) + ∑ i = 1 ∞ ( n − i i ) = 1 + ∑ i = 1 ∞ ( n + 1 − i i ) = ∑ i = 0 ∞ ( n + 1 − i i ) = F n + 1

主条目:朱世杰恒等式

i=mn(ia)=(n+1a+1)(ma+1) ∑ i = m n ( i a ) = ( n + 1 a + 1 ) − ( m a + 1 )
(ma+1)+(ma)+(m+1a)...+(na)=(n+1a+1) ( m a + 1 ) + ( m a ) + ( m + 1 a ) . . . + ( n a ) = ( n + 1 a + 1 )

二阶求和公式

r=0n(nr)2=(2nn) ∑ r = 0 n ( n r ) 2 = ( 2 n n )
i=0n(r1+n1ir11)(r2+i1r21)=(r1+r2+n1r1+r21) ∑ i = 0 n ( r 1 + n − 1 − i r 1 − 1 ) ( r 2 + i − 1 r 2 − 1 ) = ( r 1 + r 2 + n − 1 r 1 + r 2 − 1 )
(1x)r1(1x)r2=(1x)r1r2 ( 1 − x ) − r 1 ( 1 − x ) − r 2 = ( 1 − x ) − r 1 − r 2
(1x)r1(1x)r2=(n=0(r1+n1r11)xn)(n=0(r2+n1r21)xn)=n=0(i=0n(r1+n1ir11)(r2+i1r21))xn ( 1 − x ) − r 1 ( 1 − x ) − r 2 = ( ∑ n = 0 ∞ ( r 1 + n − 1 r 1 − 1 ) x n ) ( ∑ n = 0 ∞ ( r 2 + n − 1 r 2 − 1 ) x n ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n ( r 1 + n − 1 − i r 1 − 1 ) ( r 2 + i − 1 r 2 − 1 ) ) x n
(1x)r1r2=n=0(r1+r2+n1r1+r21)xn ( 1 − x ) − r 1 − r 2 = ∑ n = 0 ∞ ( r 1 + r 2 + n − 1 r 1 + r 2 − 1 ) x n

主条目:范德蒙恒等式

i=0k(ni)(mki)=(n+mk) ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) = ( n + m k )

三阶求和公式
主条目:李善兰恒等式

(n+kk)2=j=0k(kj)2(n+2kj2k) ( n + k k ) 2 = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k )
## 转载自 [樱花赞](https://www.cnblogs.com/1024th/p/10623541.html)

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