poj 3612 Telephone Wire 分开绝对值,滚动数组DP

　　状态 dp[i][j] 表示 第i根柱子,高度为j的最小花费

　　转移方程

　　　　dp( i , j ) = Min { dp( i-1, k ) + | k - j | * C + ( j-a[i] )*( j-a[i])  }

　　如果我们 枚举 j 和 k, 因为 都小于 100,  时间复杂度也有 O( 10^9 ), 1000 ms也不够.

　　

　　我们可以把绝对值拆分开来:

　　当 j >= k 时:

　　　　　　dp( i, j ) = Min{ dp( i-1, k ) - k*C + j*c + ( j-a[i])^2 }

　　当 j <= k 时:

　　　　　　dp( i, j ) = Min{ dp( i-1, k ) + k*C + j*C + (j-a[i])^2 }

　　可以观察到对于 j 而言, 只有 

　　　　　　dp( i-1, k ) - k*C 

　　　　　　dp( i-1, k ) + k*C

　　是变化的.  而后面部分相对 每一个不同J的固定的.

　　所以我们可以设定 函数 F,G :

　　G( j ) = Min { dp( i-1, k ) + k*C }      其中k 属于 [ j, 100 ] 区间

　　F( j ) = Min { dp( i-1, k ) - k*C  }　　其中k 属于 [ a[i-1], j ] 区间

　　所以最终结果为

　　　　dp ( i, j ) = Min{ G(j)  - j*C , F(j) + j*C  } + ( j-a[i] )^2

　　注意 因为 J 属于 区间 [ a[i-1], MaxHigh ]区间,  当J < a[i-1] 时要特殊处理

　　

　　对于dp状态表示,因为我们只要相邻的两组状态,所以可以用滚动数组来优化空间

View Code

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>



#define MIN(a,b) (a)<(b)?(a):(b)

#define MAX(a,b) (a)>(b)?(a):(b)

const int N = 100100;

const int inf = 0x3fffffff;



int a[N], dp[2][200], f[200], g[200];

int n, c, m;



int main()

{

    while( scanf("%d%d", &n,&c) != EOF)

    {

        m = 0;    

        for(int i = 1; i <= n; i++)

        {    

            scanf("%d", &a[i]);

            m = MAX( m, a[i] );    

        }    

        int cur = 0;



        for(int h = 0; h <= m; h++)

            if( h >= a[1] ) dp[cur][h] = (h-a[1])*(h-a[1]);

            else    dp[cur][h] = inf;



        for(int i = 2; i <= n; i++)

        {

            for(int h = 0; h <= m+1; h++)

            {

                f[h]=g[h] = inf;

                dp[!cur][h] = inf;    

            }

            // 函数f(k) 保存 区间 [ k, m ] 之间 MIN { dp[i-1,j] + j*c }     

            for(int h = m; h >= a[i-1]; h--)

                f[h] = MIN( f[h+1], dp[cur][h]+h*c );    

            // 函数g(k) 保存 区间 [ a[i-1], k ] 之间 MIN { dp[i-1,j] - j*c }

            for(int h = a[i-1]; h <= m; h++)

                g[h] = MIN( g[h-1], dp[cur][h]-h*c );



            for(int h = a[i]; h <= m; h++)

            {

                if( h < a[i-1] ) 

                    dp[!cur][h] = MIN( dp[!cur][h], f[a[i-1]] - h*c + (a[i]-h)*(a[i]-h) );    

                else

                    dp[!cur][h] = MIN( dp[!cur][h] , MIN( f[h]-h*c , g[h]+h*c ) + (a[i]-h)*(a[i]-h) );

            }    

            cur = !cur;    

        }    

        int ans = inf;

        for(int h = a[n]; h <= m; h++)

            ans = MIN( ans, dp[cur][h] );

        printf("%d\n", ans );    

    }

    return 0;

}