证明由AB=E得，BA=E

前言
相信好多小伙伴在看到矩阵的逆的定义时都会有个小疑惑，为什么只需要证明$AB=E$,则就可以说明A和B是互逆的，而无需再证$BA=E$，这里给出两个小证明，本质是一样的，证明方式二更简洁一些。

证明方式一：
由$AB=E$得
$$\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

上式由矩阵乘法得到，n为方阵的大小

记$A_{ij}$为矩阵A对应位置的代数余子式，结合上式(两边乘$A_{si}$)可构造以下等式
$$A_{si}\cdot \sum _{k=1}^n{a}_{sk}{b}_{kj}=\{\begin{array}{ll}{A}_{ji},& s=j\\ 0,& s\ne j\end{array}$$
其中$s=1,2,...,n$

对不同s求和
$$\sum _{s=1}^n{A}_{si}\cdot \sum _{k=1}^n{a}_{sk}{b}_{kj}=A_{ji}$$
交换求和顺序,并将$b_{kj}$提出得
$$\sum _{k=1}^n{b}_{kj}\cdot \sum _{s=1}^n{a}_{sk}{A}_{si}=A_{ji}$$
结合代数余子式的性质
$$\sum _{s=1}^n{a}_{sk}{A}_{si}=\{\begin{array}{ll}\left|A\right|,& k=i\\ 0,& k\ne i\end{array}$$可得
$$b_{ij}\cdot \left|A\right|=A_{ji}$$
对$AB=E$两边取行列式得：$|A||B|=1$,即可推出: $|A|\ne 0$
故有以下重要等式
$$b_{ij}=\frac{A_{ji}}{\left|A\right|}$$
故有
$$\sum _{k=1}^n{b}_{ik}{a}_{kj}=\sum _{k=1}^n\frac{A_{ki}}{\left|A\right|}\cdot a_{kj}=\frac{1}{\left|A\right|}\cdot \sum _{k=1}^n{A}_{ki}{a}_{kj}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$
既$BA=E$,证明完毕。

参考

矩阵，如果AB=E，只用矩阵乘法的定义如何证明BA=E？

证明方式二：

前置知识：$A^{\ast }A=|A|E$，其中$A^{\ast }$为A的伴随矩阵
由前置知识结合AB=E得：

$$|A|E=A^{\ast }A=A^{\ast }EA=A^{\ast }(AB)A=A^{\ast }A(BA)=|A|EBA=|A|BA$$
此外，对$AB=E$两边取行列式得：$|A||B|=1$,即可推出: $|A|\ne 0$
因此，上述公式两边同时除以$|A|$得：
$$E=BA，即BA=E$$
证明完毕。

参考
【线性代数】A为方阵,当存在B使得 AB=E ，证明BA=E