[数学]勾股定理

题目描述

请你对任意的 $c$，$c\in \mathrm{N}\ast$。求出所有的有序数对 $(a,b)$ 满足 $a^2+b^2=c^2$ 且 $a,b\in \mathrm{N}\ast$。注意，$a,b,c$ 不一定互质。

输入格式

一行一个整数 $c$。

输出格式

第一行一个正整数 $n$ 表示方案数。
第二行一个正整数 $x$ 表示所有有序数对中 $a$ 的异或值。

样例1

输入：

25

输出：

4
4

样例解释：
分别有 $(15,20)$,$(20,15)$,$(7,24),(24,7)$ 四组有序序对满足条件。

数据范围

对于 $10\%$ 的数据，$c=325$。
对于另外 $30\%$ 的数据，$c\le 3\ast 10^7$。
对于 $100\%$ 的数据，$c\le 9223372036854775807$。

题解

1

首先，我们很容易想到 $40\%$ 的数据的做法。

枚举 $a$，计算出 $b$，判断是否满足条件。

#define int long long
int n;
int ans = 0, ans2 = -1;//ans 表示答案数，ans2 表示异或值
scanf("%lld", &n);//输入 c
int t = n;//存储 c 的值
n *= n;//c 的平方
int t2 = n / 2;
//由于 a * a + b * b = c * c，所以可以a * a >= c * c / 2 时计算答案，异或和取 a ^ b 的值
for(int i = 1; i < t; ++ i){
	int p = i * i;
	if(p > t2){
		ans *= 2;
		break;
	}
	if(p == t2){
		ans *= 2;
		ans += 1;
		break;
	}
	int q = n - p;//c * c - a * a
	int t1 = sqrt(q);
	if(p + t1 * t1 == n){//说明满足条件
		++ ans;
		if(ans == -1){
			ans2 = i ^ t1;
		}
		else{
			ans2 ^= i ^ t1;
		}
	}
}

2

考虑式子 $a^2+b^2=c^2$.
移项得到 $a^2=c^2-b^2$.
利用平方差公式，$a^2=(c-b)\times (c+b)$.

令 $x=(c+b)$,$y=(c-b)$，则 $x+y=2c$，$x\times y=a^2$.
也就是说，$x\times y$ 为完全平方数。

因此，$\frac{x}{\gcd (x,y)}$ 和 $\frac{y}{\gcd (x,y)}$ 也是完全平方数。
设 $x1=\sqrt{\frac{x}{\gcd (x,y)}}$,$y1=\sqrt{\frac{y}{\gcd (x,y)}}$.
$x{1}^2+y{1}^2=\frac{x+y}{\gcd (x,y)}=\frac{c}{\gcd (x,y)}$.

则 $\gcd (x,y)$ 为 $2c$ 的因数。

于是我们可以枚举 $\gcd (x,y)$，再在 $\sqrt{\frac{2c}{\gcd (x,y)}}$ 中枚举 $x1$，计算 $y1$ 是否为完全平方数。

大家可以先自己推导一下公式。

在计算过程中，
$y1=\sqrt{\frac{c}{\gcd (x,y)}-x{1}^2}$，$x=x{1}^2\times \gcd (x,y)$，$y=y{1}^2\times \gcd (x,y)$,
$a=\sqrt{x\times y}$，$b=x-c$ 或 $c-y$。

#include
using namespace std;
ud n;
ud ans = 0, sum;
map<ud, bool> mp;//标记数组
int main(){
	cin >> n;
	for(ud i = 1; i <= 2 * n; ++ i){
		if((2 * n) % i != 0){
			continue;
		}
		//x1 的范围
		ud t = sqrt(2 * n / i);
		for(ud x = 1; x <= t; ++ x){
			//计算 y1
			ud p = sqrt(2 * n / i - x * x);
			if(p * p + x * x != 2 * n / i || p <= 0){
				continue;
			}
			//这里简化了公式，直接将 x 和 y 去掉
			ud a = x * p * i, b = x * x * i - n;
			if(b <= 0 || a <= 0 || a < b){
				continue;
			}
			//判断是否有重复
			if(mp[a] == 1){
                continue;
			}
			else{
                mp[a] = 1;
			}
			ans += 2;
			if(sum == 0){
				sum = a ^ b;
				continue;
			}
			sum ^= a ^ b;
		}
	}
	//输出
	return 0;
}

由于枚举 $i$ 从 $1$ 到 $2\times n$，时间复杂度仍旧过不了。

3

我们知道，若 $a$ 为 $b$ 的因数，则 $b/a$ 也为 $b$ 的因数。

因此我们就可以优化循环，枚举 $\gcd (x,y)$ 时，由于是 $c$ 的因数，因此 $\frac{c}{\gcd (x,y)}$ 也是 $c$ 的因数。

则我们枚举时枚举到 $\gcd (x,y)\times \gcd (x,y)\le 2\times c$ 就可以了，内部重复两次，用 $\gcd (x,y)$ 和 $\frac{c}{\gcd (x,y)}$ 分别计算一次就行了。

ud n;
ud ans = 0, sum;
map<ud, bool> mp;
int main(){
	for(ud i = 1; i * i <= 2 * n; ++ i){
		if((2 * n) % i != 0){
			continue;
		}
		ud r = 2 * n / i;
		ud t = sqrt(r);
		for(ud x = 1; x * x < r; ++ x){
			ud p = sqrt(r - x * x);
			if(p * p + x * x != r || p <= 0){
				continue;
			}
			ud a = abs(x * p * i), b = abs(n - x * x * i);
			if(a > b){
				swap(a, b);
			}
			if(mp[a] == 1 || a == 0 || b == 0){
				continue;
			}
			else{
				mp[a] = 1;
			}
			ans += 2;
			if(sum == 0){
				sum = a ^ b;
				continue;
			}
			sum ^= a ^ b;
		}
		//如果 i*i 和 2*n 相等，就不用再算一次
		if(2 * n == i * i){
			continue;
		}
		r = i;
		t = sqrt(r);
		for(ud x = 1; x * x < r; ++ x){
			ud p = sqrt(r - x * x);
			if(p * p + x * x != r || p <= 0){
				continue;
			}
			ud a = abs(x * p * 2 * n / i), b = abs(n - x * x * 2 * n / i);
			//这时的 i 已经变为了 2*n/i
			if(a > b){
				swap(a, b);
			}
			if(mp[a] == 1 || a == 0 || b == 0){
				continue;
			}
			else{
				mp[a] = 1;
			}
			ans += 2;
			if(sum == 0){
				sum = a ^ b;
				continue;
			}
			sum ^= a ^ b;
		}
	}
	return 0;
}

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