线性二次调节器（LQR）和模型预测控制（MPC）算法对比介绍

本文对线性二次调节器（LQR）和模型预测控制（MPC）算法的详细介绍，包括图文示例，以帮助更好地理解这些控制策略。

1. 线性二次调节器 (LQR)

1.1 概述

LQR 是一种经典的控制策略，用于设计线性系统的最优反馈控制器。其目标是通过最小化一个二次型成本函数来实现系统的最佳控制。

1.2 数学模型

线性系统模型：
[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) ]
[ y(t) = Cx(t) + Du(t) ]

其中：

• ( x(t) ) 是状态向量。
• ( u(t) ) 是控制输入。
• ( A ), ( B ), ( C ), ( D ) 是系统矩阵。

二次型成本函数：
[ J = \int_{0}^{\infty} \left( x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t) \right) dt ]

其中：

• ( Q ) 是状态权重矩阵（对称半正定矩阵）。
• ( R ) 是控制输入权重矩阵（对称正定矩阵）。

1.3 LQR 控制器设计步骤

1. 求解 Riccati 方程：
   通过解决 Riccati 方程得到矩阵 ( P )：

   [ A^T P + PA - PBR^{-1}BT P + Q =