数学基础 -- 线性代数之行阶梯形

行阶梯形

行阶梯形（Row Echelon Form, REF）是线性代数中用于简化矩阵形式的一种方法，常用于求解线性方程组。矩阵经过行变换（如高斯消元法）后可以转换为行阶梯形，它具有以下特点：

行阶梯形的定义

1. 零行在矩阵的底部：矩阵中如果存在一行全为零的行，这些行必须在矩阵的最下方。

2. 每一非零行的首个非零元素为1：这一元素称为该行的主元（leading entry）。主元是从左到右的第一个非零元素，并且主元必须是1。

3. 主元所在列的下面的所有元素为零：即主元下面的元素必须全部为零。

4. 主元的位置向右移动：对于每一非零行，其主元的位置必须位于上一行的主元的右边。

行阶梯形的示例

考虑以下矩阵的行阶梯形：

( 1 2 3 4 0 1 5 6 0 0 0 1 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ​1000​2100​3500​4610​ ​

• 第一行的主元是第一个元素1。
• 第二行的主元是第二个元素1。
• 第三行的主元是第四个元素1。
• 第四行为零行，放在最后。

行阶梯形的应用

1. 求解线性方程组：通过高斯消元法将增广矩阵化为行阶梯形，可以方便地通过回代求解线性方程组的解。

2. 计算矩阵的秩：矩阵的秩等于其行阶梯形中非零行的数目。

3. 判断线性相关性：通过行阶梯形，可以判断向量组的线性相关性，进而决定基的构成和向量空间的维数。

行阶梯形与简化行阶梯形

简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF） 是行阶梯形的进一步简化形式，除了满足行阶梯形的所有条件外，还要求：

• 主元所在列的所有其他元素为零：即主元所在列的元素除了主元本身以外，全为零。

例如：

( 1 0 2 3 0 1 4 5 0 0 1 6 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ​1000​0100​2410​3560​ ​

这是一个简化行阶梯形矩阵。

行阶梯形是求解线性方程组和分析矩阵的重要工具。通过将矩阵转化为行阶梯形或简化行阶梯形，可以大大简化问题的求解过程。

例子1：有解的行阶梯形

假设我们有一个线性方程组，其对应的增广矩阵如下，通过行变换将其化为行阶梯形：

( 1 2 3 ∣ 4 0 1 4 ∣ 5 0 0 1 ∣ 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} ​100​210​341​∣∣∣​452​ ​

这个行阶梯形矩阵对应的线性方程组为：

$$\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2+3x_3& =4\\ x_2+4x_3& =5\\ x_3& =2\end{array}$$

解法：

• 从最后一行开始，直接得出 $x_3=2$。
• 代入第二行，求解 $x_2$：
  $$x_2+4\times 2=5⟹x_2=5-8=-3$$
• 代入第一行，求解 $x_1$：
  $$x_1+2\times (-3)+3\times 2=4⟹x_1=4+6-6=4$$

所以解为：$x_1=4$，$x_2=-3$，$x_3=2$。这是一个有唯一解的情况。

例子2：无解的行阶梯形

假设我们有另一个线性方程组，其对应的增广矩阵经过行变换后得到以下行阶梯形：

( 1 2 3 ∣ 4 0 1 4 ∣ 5 0 0 0 ∣ 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} ​100​210​340​∣∣∣​451​ ​

这个行阶梯形矩阵对应的线性方程组为：

$$\begin{array}{rl}{x}_1+2x_2+3x_3& =4\\ x_2+4x_3& =5\\ 0& =1\end{array}$$

分析：

• 第一、第二行是正常的方程。
• 第三行出现了矛盾，即 $0=1$。这意味着这个方程组是不可能成立的，因此无解。

结论：

• 如果行阶梯形中出现了类似 $0=1$ 的矛盾行，这表明原方程组无解。