数学基础 -- 线性代数之行阶梯形

行阶梯形

行阶梯形(Row Echelon Form, REF)是线性代数中用于简化矩阵形式的一种方法,常用于求解线性方程组。矩阵经过行变换(如高斯消元法)后可以转换为行阶梯形,它具有以下特点:

行阶梯形的定义
  1. 零行在矩阵的底部:矩阵中如果存在一行全为零的行,这些行必须在矩阵的最下方。

  2. 每一非零行的首个非零元素为1:这一元素称为该行的主元(leading entry)。主元是从左到右的第一个非零元素,并且主元必须是1。

  3. 主元所在列的下面的所有元素为零:即主元下面的元素必须全部为零。

  4. 主元的位置向右移动:对于每一非零行,其主元的位置必须位于上一行的主元的右边。

行阶梯形的示例

考虑以下矩阵的行阶梯形:

( 1 2 3 4 0 1 5 6 0 0 0 1 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 1000210035004610

  • 第一行的主元是第一个元素1。
  • 第二行的主元是第二个元素1。
  • 第三行的主元是第四个元素1。
  • 第四行为零行,放在最后。
行阶梯形的应用
  1. 求解线性方程组:通过高斯消元法将增广矩阵化为行阶梯形,可以方便地通过回代求解线性方程组的解。

  2. 计算矩阵的秩:矩阵的秩等于其行阶梯形中非零行的数目。

  3. 判断线性相关性:通过行阶梯形,可以判断向量组的线性相关性,进而决定基的构成和向量空间的维数。

行阶梯形与简化行阶梯形

简化行阶梯形(Reduced Row Echelon Form, RREF) 是行阶梯形的进一步简化形式,除了满足行阶梯形的所有条件外,还要求:

  • 主元所在列的所有其他元素为零:即主元所在列的元素除了主元本身以外,全为零。

例如:

( 1 0 2 3 0 1 4 5 0 0 1 6 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 1000010024103560

这是一个简化行阶梯形矩阵。

行阶梯形是求解线性方程组和分析矩阵的重要工具。通过将矩阵转化为行阶梯形或简化行阶梯形,可以大大简化问题的求解过程。

例子1:有解的行阶梯形

假设我们有一个线性方程组,其对应的增广矩阵如下,通过行变换将其化为行阶梯形:

( 1 2 3 ∣ 4 0 1 4 ∣ 5 0 0 1 ∣ 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} 100210341452

这个行阶梯形矩阵对应的线性方程组为:

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 4 x 2 + 4 x 3 = 5 x 3 = 2 \begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 4 \\ x_2 + 4x_3 &= 5 \\ x_3 &= 2 \end{aligned} x1+2x2+3x3x2+4x3x3=4=5=2

解法

  • 从最后一行开始,直接得出 x 3 = 2 x_3 = 2 x3=2
  • 代入第二行,求解 x 2 x_2 x2
    x 2 + 4 × 2 = 5    ⟹    x 2 = 5 − 8 = − 3 x_2 + 4 \times 2 = 5 \implies x_2 = 5 - 8 = -3 x2+4×2=5x2=58=3
  • 代入第一行,求解 x 1 x_1 x1
    x 1 + 2 × ( − 3 ) + 3 × 2 = 4    ⟹    x 1 = 4 + 6 − 6 = 4 x_1 + 2 \times (-3) + 3 \times 2 = 4 \implies x_1 = 4 + 6 - 6 = 4 x1+2×(3)+3×2=4x1=4+66=4

所以解为: x 1 = 4 x_1 = 4 x1=4 x 2 = − 3 x_2 = -3 x2=3 x 3 = 2 x_3 = 2 x3=2。这是一个有唯一解的情况。

例子2:无解的行阶梯形

假设我们有另一个线性方程组,其对应的增广矩阵经过行变换后得到以下行阶梯形:

( 1 2 3 ∣ 4 0 1 4 ∣ 5 0 0 0 ∣ 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 1 & 4 & | & 5 \\ 0 & 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix} 100210340451

这个行阶梯形矩阵对应的线性方程组为:

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 4 x 2 + 4 x 3 = 5 0 = 1 \begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 4 \\ x_2 + 4x_3 &= 5 \\ 0 &= 1 \end{aligned} x1+2x2+3x3x2+4x30=4=5=1

分析

  • 第一、第二行是正常的方程。
  • 第三行出现了矛盾,即 0 = 1 0 = 1 0=1。这意味着这个方程组是不可能成立的,因此无解。

结论

  • 如果行阶梯形中出现了类似 0 = 1 0 = 1 0=1 的矛盾行,这表明原方程组无解。

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