C++ | 数据结构 | AVL树

AVL 树

在 C++ 中，高效的数据结构对于程序的性能至关重要。AVL 树和红黑树都是强大的二叉搜索树变体，它们在保持搜索效率的同时，解决了普通二叉搜索树可能退化为单支树的问题。

1. AVL 树的概念

• 二叉搜索树在数据有序或接近有序时会退化为单支树，导致查找效率低下。为了解决这个问题，两位俄罗斯数学家在 1962 年发明了 AVL 树。
• AVL 树是一种高度平衡的二叉搜索树，具有以下性质：
  • 它的左右子树都是 AVL 树。
  • 左右子树高度之差（平衡因子）的绝对值不超过 1（-1/0/1）。
• 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。AVL 树有 n 个结点时，其高度可保持在 ，搜索时间复杂度为 。

2. AVL 树节点的定义

template
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode(const T& data)
        : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
       , _data(data), _bf(0)
    {}
    AVLTreeNode* _pLeft;   // 该节点的左孩子
    AVLTreeNode* _pRight;  // 该节点的右孩子
    AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲
    T _data;
    int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

3. AVL 树的插入

• AVL 树的插入过程分为两步：
  • 按照二叉搜索树的方式插入新节点。
  • 调整节点的平衡因子。

template
bool Insert(const T& data)
{
    // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到 AVL 树中
    //...
    
    // 2. 新节点插入后，AVL 树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了 AVL 树的平衡性
    
    AVLTreeNode* pCur =...; // 新插入的节点
    AVLTreeNode* pParent = pCur->_pParent;
    
    while (pParent)
    {
        // 更新双亲的平衡因子
        if (pCur == pParent->_pLeft)
            pParent->_bf--;
        else
            pParent->_bf++;
        
        // 更新后检测双亲的平衡因子
        if (0 == pParent->_bf)
        {    
            break;
        }
        else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
        {
            // 插入前双亲的平衡因子是 0，插入后双亲的平衡因为为 1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上更新
            pCur = pParent;
            pParent = pCur->_pParent;
        }
        else
        {
            // 双亲的平衡因子为正负 2，违反了 AVL 树的平衡性，需要对以 pParent为根的树进行旋转处理
            // 根据不同情况进行旋转
            if (2 == pParent->_bf)
            {
                //...
            }
            else
            {
                //...
            }
            break;
        }
    }
    return true;
}

4. AVL 树的旋转

• 如果在 AVL 树中插入新节点导致不平衡，就需要调整树的结构使之平衡化。AVL 树的旋转分为四种情况：
  • 新节点插入较高左子树的左侧（左左）：右单旋。

    void _RotateR(AVLTreeNode* pParent)
    {
        AVLTreeNode* pSubL = pParent->_pLeft;
        AVLTreeNode* pSubLR = pSubL->_pRight;
        
        // 旋转完成之后，30 的右孩子作为双亲的左孩子
        pParent->_pLeft = pSubLR;
        
        // 如果 30 的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
        if(pSubLR)
            pSubLR->_pParent = pParent;
        
        // 60 作为 30 的右孩子
        pSubL->_pRight = pParent;
        
        // 因为 60 可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存 60 的双亲
        AVLTreeNode* pPParent = pParent->_pParent;
        
        // 更新 60 的双亲
        pParent->_pParent = pSubL;
        
        // 更新 30 的双亲
        pSubL->_pParent = pPParent;
        
        // 如果 60 是根节点，根新指向根节点的指针
        if(NULL == pPParent)
        {
            _pRoot = pSubL;
            pSubL->_pParent = NULL;
        }
        else
        {
            // 如果 60 是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
            if(pPParent->_pLeft == pParent)
                pPParent->_pLeft = pSubL;
            else
                pPParent->_pRight = pSubL;
        }
        
        // 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
        pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
    }

• 新节点插入较高右子树的右侧（右右）：左单旋，实现及情况考虑可参考右单旋。
• 新节点插入较高左子树的右侧（左右）：先左单旋再右单旋。

    void _RotateLR(AVLTreeNode* pParent)
    {
        AVLTreeNode* pSubL = pParent->_pLeft;
        AVLTreeNode* pSubLR = pSubL->_pRight;
        
        // 先对 30 进行左单旋
        _RotateL(pParent->_pLeft);
        
        // 再对 90 进行右单旋
        _RotateR(pParent);
        
        // 根据旋转前保存的平衡因子更新其他节点的平衡因子
        int bf = pSubLR->_bf;
        if(1 == bf)
            pSubL->_bf = -1;
        else if(-1 == bf)
            pParent->_bf = 1;
    }

• 新节点插入较高右子树的左侧（右左）：先右单旋再左单旋，参考右左双旋。

5. AVL 树的验证

• AVL 树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，验证 AVL 树可以分两步：
  • 验证其为二叉搜索树，通过中序遍历可得到一个有序的序列来判断。
  • 验证其为平衡树，每个节点子树高度差的绝对值不超过 1，并且节点的平衡因子计算正确。

int _Height(AVLTreeNode* pRoot);
bool _IsBalanceTree(AVLTreeNode* pRoot)
{
    // 空树也是 AVL 树
    if (nullptr == pRoot) return true;
    
    // 计算 pRoot 节点的平衡因子：即 pRoot 左右子树的高度差
    int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
    int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
    int diff = rightHeight - leftHeight;
    
    // 如果计算出的平衡因子与 pRoot 的平衡因子不相等，或者 pRoot 平衡因子的绝对值超过 1，则一定不是 AVL 树
    if (diff!= pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
        return false;
    
    // pRoot 的左和右如果都是 AVL 树，则该树一定是 AVL 树
    return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);
}