【工程常用】三维空间中两条直线近似交点求解

直线方程

采用点向式表示直线方程，已知直线上任意一点$(x_0,y_0,z_0)$以及直线的方向向量$(v_x,v_y,v_z)$，则直线方程可以表示为：
$$\frac{x-x_0}{v_x}=\frac{y-y_0}{v_y}=\frac{z-z_0}{v_z}$$
现假设已知空间中两条直线 $l_a$，$l_b$上两点分别为$(x_a,y_a,z_a)$, $(x_b,y_b,z_b)$, 两条直线的方向向量分别为
$$v^a=(v_x^a,v_y^a,v_z^a)$$$$v^b=(v_x^b,v_y^b,v_z^b)$$

求解过程

1. 计算公垂线方向向量

通过求解直线 $l_a$，$l_b$的方向向量的叉积，得到公垂线方向向量：
$$n=v^a\times v^b=(n_x,n_y,n_z)$$

注：有关向量叉积的计算公式，可参考叉积的定义。

2. 计算公垂线与两直线交点

设公垂线与直线 $l_a$，$l_b$的交点分别为$A=(a_x,a_y,a_z)$, $B=(b_x,b_y,b_z)$, 可将A, B两点分别代入直线方程：
直线 $l_a$：$$\frac{a_x-x_a}{v_x^a}=\frac{a_y-y_a}{v_y^a}=\frac{a_z-z_a}{v_z^a}\text{\hspace{1em}(1)}$$
直线 $l_b$：$$\frac{b_x-x_b}{v_x^b}=\frac{b_y-y_b}{v_y^b}=\frac{b_z-z_b}{v_z^b}\text{\hspace{1em}(2)}$$
另外，由于A，B两点均在公垂线上，因此，向量$AB$与公垂线方向向量平行，可得：
$$\frac{a_x-b_x}{n_x}=\frac{a_{}}{n_y}$$