解惑深度学习中的困惑度Perplexity
困惑度的定义
困惑度(Perplexity)是衡量语言模型好坏的一个常用指标。语言模型(language model)可以预测序列(比如一个句子)中每个时间步词元(比如一个句子中的逐个单词)的概率分布，继而计算一个序列的概率。
一个好的语言模型应该有更高的概率生成一个好的序列，即生成的序列不应该让人感到很困惑，困惑度的核心思想是：序列生成的概率越大，其困惑度越小，因此可以使用困惑度这个指标来评估语言模型的好坏。
深度学习中，困惑度的公式为：
e x p [ − 1 n ∑ t = 1 n l o g P ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) ] exp[-{1 \over{n}}\sum_{t=1}^{n} log P(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)] exp[−n1∑t=1nlogP(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)]
困惑度公式来源
我们看下困惑度的公式是怎么得到的。
序列(比如句子)通常由词元(比如单词或字符)组成：
S = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) S=(x_1,x_2,...,x_n) S=(x1,x2,...,xn)
其中 n n n 是序列的长度。生成此序列的概率为：
P ( S ) = P ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ( 1 ) P(S)=P(x_1,x_2,...,x_n) \ \ \ \ \ (1) P(S)=P(x1,x2,...,xn) (1)
一个序列中每个时间步的词元的生成概率不是完全独立的，而是会受到前面一些词元的影响，因此
P ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P ( x 1 ) ⋅ P ( x 2 ∣ x 1 ) ⋅ P ( x 3 ∣ x 2 , x 1 ) ⋅ . . . ⋅ P ( x n ∣ x n − 1 , x n − 2 , . . . , w 1 ) = ∏ t = 1 n P ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) ( 2 ) \begin{align} P(x_1,x_2,...,x_n) & = P(x_1)·P(x_2|x_1)·P(x_3|x_2,x_1)·...·P(x_n|x_{n-1},x_{n-2},...,w_1) \\ & = \prod_{t=1}^{n}P(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) \ \ \ \ \ (2) \\ \end{align} P(x1,x2,...,xn)=P(x1)⋅P(x2∣x1)⋅P(x3∣x2,x1)⋅...⋅P(xn∣xn−1,xn−2,...,w1)=t=1∏nP(xt∣xt−1,xt−2,...,x1) (2)
P ( S ) P(S) P(S)越大，则说明语言模型的拟合效果越好，求 P ( S ) P(S) P(S)的最大值相当于求 − l o g P ( W ) -logP(W) −logP(W)的最小值，再对词元数 n n n 取个平均得：
− 1 n l o g P ( S ) = − 1 n l o g ∏ t = 1 n P ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) ) = − 1 n ∑ t = 1 n l o g P ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) ( 3 ) \begin{align} -{1 \over{n}}logP(S) & = -{1 \over{n}}log\prod_{t=1}^{n}P(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)) \\ & = -{1 \over{n}}\sum_{t=1}^{n} log P(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) \ \ \ \ \ (3) \\ \end{align} −n1logP(S)=−n1logt=1∏nP(xt∣xt−1,xt−2,...,x1))=−n1t=1∑nlogP(xt∣xt−1,xt−2,...,x1) (3)
式 ( 3 ) (3) (3) 相当于这个序列中 n n n 个词元交叉熵损失的平均值。
困惑度与交叉熵
语言模型本质上也是个分类问题，对于一个包含 n n n 个词元的序列(句子)，里面的每个词元都会做一次预测，然后计算预测结果与实际值的交叉熵损失。因为这个序列包含 n n n 个词元，所以要做 n n n 次预测和交叉熵损失的计算才能得到整个序列的平均交叉熵。
交叉熵的理解可参考 交叉熵 这篇文章
假设共有 J J J 个不同的词元
J = ( w 1 , w 2 , . . . , w J ) J=(w_1,w_2,...,w_J) J=(w1,w2,...,wJ)
对于序列 S S S 在第 t t t 个位置上的词元 x t x_t xt ，它属于 J J J 个词元的预测概率分布与真实概率分布分别为 P ( W ) 、 Q ( W ) P(W)、Q(W) P(W)、Q(W)，其中
p j = P ( W = w j ) = P w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) , j = 1 , 2 , 3 , . . . , J p_j=P(W=w_j)=P_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1), \ \ j=1,2,3,...,J pj=P(W=wj)=Pwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1), j=1,2,3,...,J
q j = Q ( W = w j ) = Q w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) , j = 1 , 2 , 3 , . . . , J q_j=Q(W=w_j)=Q_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1), \ \ j=1,2,3,...,J qj=Q(W=wj)=Qwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1), j=1,2,3,...,J
则两个概率分布的交叉熵损失可表示为：
H ( Q , P ) = − ∑ j = 1 J q j l o g p j = − ∑ j = 1 J Q w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) l o g P w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) H(Q,P)=-\sum_{j=1}^Jq_j log p_j=-\sum_{j=1}^J Q_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) log P_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) H(Q,P)=−∑j=1Jqjlogpj=−∑j=1JQwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)logPwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)
假设 w w w 是序列 S S S 在第 t t t 个位置上真实的词元，即 x t = w x_t=w xt=w ，则真实分布 Q ( W ) Q(W) Q(W) 可表示为：
Q w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) = { 1 , w j = w 0 , w j ≠ w Q_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)= \left\{\begin{matrix} 1,w_j=w \\ 0,w_j≠w \end{matrix}\right. Qwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)={1,wj=w0,wj=w
这个式子可对应深度学习中分类模型标签向量的表示：一般真实值位置为1，其他位置都为0，故：
H ( Q , P ) = − ∑ j = 1 J Q w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) l o g P w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) = − [ Q w ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) l o g P w ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) + ∑ w j ≠ w Q w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) l o g P w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) ] = − [ 1 ⋅ l o g P w ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) + ∑ w j ≠ w 0 ⋅ l o g P w j ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) ] = − l o g P w ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) \begin{align} H(Q,P) & = -\sum_{j=1}^J Q_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) log P_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) \\ & = -[Q_{w}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) log P_{w}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)+\sum_{w_j≠w} Q_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) log P_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)] \\ & = -[1·log P_{w}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)+\sum_{w_j≠w} 0·log P_{w_j}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)] \\ & = -log P_{w}(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) \\ \end{align} H(Q,P)=−j=1∑JQwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)logPwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)=−[Qw(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)logPw(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)+wj=w∑Qwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)logPwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)]=−[1⋅logPw(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)+wj=w∑0⋅logPwj(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)]=−logPw(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)
序列 S S S 其他位置上词元的交叉熵损失的计算以此类推，所以对于包含 n n n 个词元的整个序列 S S S 的平均交叉熵损失为：
1 n ∑ t = 1 n − l o g P ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) {1 \over{n}}\sum_{t=1}^{n} -log P(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1) n1∑t=1n−logP(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)
困惑度只不过是在平均交叉熵外套了一个壳
e x p [ − 1 n ∑ t = 1 n l o g P ( x t ∣ x t − 1 , x t − 2 , . . . , x 1 ) ] exp[-{1 \over{n}}\sum_{t=1}^{n} log P(x_t|x_{t-1},x_{t-2},...,x_1)] exp[−n1∑t=1nlogP(xt∣xt−1,xt−2,...,x1)]
困惑度公式的理解：
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在最好的情况下，模型总是完美地估计标签词元的概率为1。在这种情况下，模型的困惑度为1；
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在最坏的情况下，模型总是预测标签词元的概率为0。在这种情况下，困惑度是正无穷大。