拓展欧几里得算法

描述：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

解法描述：设 a>b， 当 b=0，gcd（a，b）=a，此时 x=1，y=0； ab<>0 时，
　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
　　 bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　因为gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码：

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>



//全局变量

int x,y;//希望求出的系数： x*a + y*b= c

int tmpx,tmpy;



//求最大公约数

int gcd(int num1, int num2)

{

    if(0==num2)

    {

        return num1;

    }

    else

    {

        return gcd(num2, num1%num2);

    }



}



void extend_euclid(int a,int b,int c)

{

    if(0==a)

    {

       x=0;y=1;

       return;

    }

    else if(0==b)

    {

        x=1;y=0;

        return;

    }

    else

    {

        extend_euclid(b,a%b,c);

        tmpx=x;

        tmpy=y;

        x=tmpy;

        y=tmpx-(a/b)*tmpy;

        return;

    }

}



int main()

{

    int a,b;//用户输入

    int c;//最大公约数



    while(2==scanf("%d %d",&a,&b))

    {

        if(0==a && 0==b)//a,b为不全为0的整数

            return -1;



        c=gcd(a,b);

        extend_euclid(a,b,c);

        printf("最大公约数是%d\n",c);

        printf("x=%d, y=%d\n",x,y);

    }

    return 0;

}