数学基础 -- 线性代数之酉矩阵

酉矩阵（Unitary Matrix）

酉矩阵是线性代数中一种重要的矩阵类型，特别在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。以下是酉矩阵的定义、性质以及使用和计算的例子。

1. 定义

酉矩阵是一个复矩阵 $U$ ，满足以下条件：

$$U^{†}U=U{U}^{†}=I$$

其中：

• $U^{†}$ 是矩阵 $U$ 的共轭转置矩阵，即 $U$ 的转置矩阵再取元素的共轭。
• $I$ 是单位矩阵。

换句话说，矩阵 $U$ 的逆矩阵等于它的共轭转置矩阵：$U^{-1}=U^{†}$。

2. 性质

• 保持内积：酉矩阵保持向量的内积不变，即对于任意向量 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$，有 $⟨U\mathbf{v},U\mathbf{w}⟩=⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩$。
• 规范性：酉矩阵的列向量和行向量都是单位向量，并且相互正交。这意味着每列向量的模为1，且不同列向量的内积为0。
• 特征值：酉矩阵的特征值的模长为1，即如果 $\lambda$ 是 $U$ 的特征值，那么 $|\lambda |=1$。
• 稳定性：酉矩阵的模不变性在物理学中非常重要，特别是在量子力学中，它表示量子态的演化是稳定的、不改变量子态的整体性质。

3. 使用例子：量子计算中的酉矩阵

在量子计算中，酉矩阵常用于表示量子比特的状态演化。例如，一个量子比特的状态可以表示为向量 $\psi =\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是复数，满足 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。

假设我们有一个量子门操作 $U$ ，它是一个酉矩阵。比如，帕里矩阵（Hadamard gate）是一个常用的量子门：

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

应用这个量子门 $H$ 到量子比特状态 $\psi$ 上，会得到新的量子状态：

$${\psi }^{\prime }=H\psi =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}\alpha +\beta \\ \alpha -\beta \end{array}\right)$$

新的量子状态 ${\psi }^{\prime }$ 是通过酉矩阵 $H$ 作用得到的，并且这个操作是保范的，即新状态的模仍然为1。

4. 计算例子：验证矩阵是否为酉矩阵

假设我们有以下矩阵 $U$：

U = 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} U=21​ ​1111​1−11−1​11−1−1​1−1−11​ ​

我们要验证 $U$ 是否是一个酉矩阵。

第一步：计算矩阵 $U$ 的共轭转置矩阵 $U^{†}$

U † = U T = 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) U^{\dagger} = U^{T} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} U†=UT=21​ ​1111​1−11−1​11−1−1​1−1−11​ ​

（因为矩阵 $U$ 的元素都是实数，所以共轭转置矩阵就是转置矩阵）

第二步：计算 $U^{†}U$

U † U = 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) U^{\dagger}U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} U†U=21​ ​1111​1−11−1​11−1−1​1−1−11​ ​21​ ​1111​1−11−1​11−1−1​1−1−11​ ​

展开运算结果为：

U † U = 1 4 ( 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) = I U^{\dagger}U = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I U†U=41​ ​4000​0400​0040​0004​ ​= ​1000​0100​0010​0001​ ​=I

因为 $U^{†}U=I$，所以 $U$ 是一个酉矩阵。