高等排序——分割与快速排序

快速排序是最经常使用的排序算法，其时间复杂度为O(nlogn)，且空间占用为常数

在学习快速排序之前，我们先引入一个题目，学习分割的思想，这是实现快速排序的前提

分割

假定给出一个数组A，要求在下标q至r范围内，将其分割为p到q-1与q+1到r两个部分，并返回下标q的值，其中A[p,q-1]中的所有元素均小于等于A[q],而A[q+1,r]中的所有元素均大于A[q]

我们将A[p,q-1]称作数组C，A[q+1,r}称作数组D，则当一开始A[q]的值确定下来时，C与D的长度是不确定的，因此我们不能先定下A[q]的位置，其位置应该随着C数组长度的变化而变化（就在其下一位）。因此，我们需要先找到所有小于等于A[q]的元素，并将其排列到数组前面，这样，D的元素也就相应地确定了

那么我们如何实现这个操作呢？

一、前后指针法

首先我们需要定下A[q]的值，我们不妨取数组的最后一个元素A[r]作为A[q]的值

我们需要开两个指针p1与p2，p1所指以及其前面的元素均为C数组的元素，而p2所指的前面的元素为D数组的元素。一开始，我们令p1指向p-1（因为C数组一开始为空），p2指向p（D数组也为空），然后我们使p2遍历数组A，当遇到大于A[q]的元素，我们移动到下一位（相当于把它加入到D数组），遇到小于等于A[q]的元素时，我们就需要把它放到C数组去了，具体操作为：p1指向下一位（在移动之前，由于p1到p2之间都是D数组的元素，因此这时p1指向的元素属于D数组），将*p1与*p2对调，这样子，p2所指元素就成功加入了C数组，而p1所指的元素又调换回了D数组

如此循环遍历下去，直到p2指向A[r]，我们就成功地排好了C数组和D数组，最后只需要将A[r]插入到数组C与D之间，也就是使p1指向的下一位元素与p2指向的元素对调，即可完成排序

实现代码如下：

void partition1(int* nums, int p, int r){
    int i=p-1;//指向数组C
    int j=p;//指向数组D
    int key=nums[r];
    while(jkey){   //归入数组D
            j++;
        }
        else{
            int temp=nums[++i];
            nums[i]=nums[j];
            nums[j++]=temp;    //对调归入数组C
        }
    }
    nums[r]=nums[i+1];
    nums[i+1]=key;      //nums[r]与nums[i+1]位置对调
}

    

二、左右指针法

第一种方法是开两个指针同时前进，那么我们也可以左右各开一个指针，使C，D两个数组向中间生长

实现代码如下：

void partition2(int* nums, int p, int r) {
	int i = p;//左指针
	int j = r;//右指针
	int key = nums[p];
	while (i != j) {
		while (nums[j] > key && j > i) {//右指针向左查找，直到找到比key小的元素
			j--;
		}                               //j>i防止左指针超过右指针
		while (nums[i] <= key && j > i) {//左指针向右查找，直到找到比key大的元素
			i++;
		}
		int temp = nums[i];  
		nums[i] = nums[j];
		nums[j] = temp;     //左右指针所指元素交换
	}
	nums[p]=nums[i];
    nums[i]=key;           //插入键值
}

左右指针减少了元素对调次数，更加高效

快速排序

聪明的小伙伴这个时候就发现了，我们通过分割得到两个相对有序的数组，这个结果和归并排序是类似的，那么，我们是不是也可以运用类似的思路，将这两个相对有序的数组继续分割排序，最终使整个数组有序呢？没错，这也就是我们快速排序的实现方法，而且相对于归并排序而言，我们不需要进行合并处理，不需要占用额外的内存

实现代码如下：(采用左右指针法）

void QuickSort(int* nums, int p, int r) {
	if (p >= r) {//保证区间存在
		return;
	}
	int i = p;
	int j = r;
	int key = nums[p];
	while (i != j) {
		while (nums[j] >key && j > i) {
			j--;
		}
		while (nums[i] <= key && j > i) {
			i++;
		}
		int temp = nums[j];
		nums[j] = nums[i];
		nums[i] = temp;
	}
	nums[p] = nums[i];
	nums[i] = key;//以上为分割算法
	QuickSort(nums, p, i - 1);//递归数组C
	QuickSort(nums, i + 1, r);//递归数组D
}

总结：

快速排序在分割的过程中会交换不相邻的元素，因此属于不稳定的排序算法

快速排序的效率与key值的选取息息相关，如果在分割时能恰好选到中间值，则整个过程与归并排序一样，大致分为层，平均时间复杂度为O(nlogn)，是一般情况下最高效的排序算法。若像我的上述代码（前后指针法）一样，采用固定的方式选取key值，那么当处理某些顺序的数据（如已经排序完毕的数组）的时候，效率会大打折扣，最坏的情况，时间复杂度甚至高达O()，甚至有可能导致递归的深度过大而栈溢出。因此，我们需要在key值的选取上多加考量，比如随机选择，或者任选出几个元素的值然后取其中间值