动态规划算法：

动态规划算法简介

动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种将复杂问题分解为更简单的子问题来求解的算法思想。它通过保存中间子问题的解，避免了重复计算，从而大大提高了解决问题的效率。动态规划通常用于求解最优化问题，比如最短路径、最大收益等。

动态规划解题步骤

1. 确定状态：明确在问题的某一步中，需要存储什么信息来描述子问题的解。
2. 状态转移方程：找出如何通过前一步的状态来得到当前状态，即如何递推地求解问题。
3. 初始状态：确定最基本的状态，即最小子问题的解。
4. 计算结果：通过状态转移逐步得到问题的最终解。

递归与动态规划的对比

为了更好地理解动态规划的优势，我们以“爬楼梯”问题为例，展示递归方法与动态规划方法的对比。

1. 爬楼梯问题(一维)

假设你正在爬楼梯，需要爬 n 阶才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶？

递归解法：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
};

递归方法虽然直观，但由于存在大量重复计算，导致时间复杂度较高（O(2^n)），在 n 较大时会超时。

动态规划解法：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector dp(n+1);
        if(n <= 1) return 1;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

动态规划方法通过自底向上地保存子问题的解，避免了递归中的重复计算。其时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也可以进一步优化到 O(1)。

机器人走路问题（二维）

题目描述：

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点标记为“Start”）。机器人每次只能向下或者向右移动一步，目标是达到网格的右下角（标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径？

动态规划解法：

解题思路：

• 状态定义：定义一个二维数组 dp[i][j]，表示机器人从左上角走到 (i, j) 的不同路径数。
• 状态转移方程：对于每个格子 (i, j)，机器人可以从上方 (i-1, j) 或左方 (i, j-1) 到达，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
• 初始状态：在边界上，机器人只能从一个方向到达，因此 dp[i][1] = 1，dp[1][j] = 1。
• 最终结果：目标是求解右下角 dp[m][n]。

代码实现：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[m+1][n+1];
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if(i == 1 || j == 1) {
                    dp[i][j] = 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

代码解读：

1. 二维DP数组：dp[m+1][n+1] 用于存储从起点到各个位置的路径数目。
2. 边界条件：因为机器人只能向右或向下移动，因此边界上的路径数目为 1。
3. 状态转移方程：对于非边界点，路径数目等于上方和左方路径数目的和。
4. 时间复杂度与空间复杂度：该算法的时间复杂度为 O(m * n)，可以通过仅使用一维数组优化空间复杂度到 O(min(m, n))。

结论

通过这两个经典问题的分析，我们看到动态规划方法在处理复杂问题时的强大之处。相比于递归，动态规划通过存储子问题的解，有效减少了重复计算，显著提升了算法的效率。因此，在面临类似的问题时，动态规划通常是更为优越的选择。