MindOpt V1.0优化种植计划问题，新的建模方法

在我们的实际生活中很多问题都可以通过数学规划的方法进行建模，实验求解器工具进行求解，比如工业上的排产排程，如何排产效率更高、金融中的投资理财，怎样投资风险更低等等，本篇将介绍一个农业的场景问题——种植计划。

种植计划是指农业生产中针对不同农作物的种植时间、面积和种植方式等方面的规划安排。根据具体情况进行合理的规划和安排，以实现农作物的高产、优质和可持续发展。

问题描述

一个农民承包了6块耕地，共300亩，准备播种小麦、玉米、蔬菜、瓜果这4种农产品。每个地块由于土质地形不一样，单位面积不同作物的收益是不一样的，且地块的面积不一样，如下表所示。请问要如何安排种植计划，可以得到最大的总收益。

表1：单位面积不同收益（收益 $C_{ij}$ , $i\in I$ 代表农产品，$j\in J$ 代表地块， ）

	地块1	地块2	地块3	地块4	地块5	地块6
小麦	500	550	630	1000	800	700
玉米	800	700	600	950	90	930
蔬菜	1200	1040	980	860	880	780
瓜果	1000	960	840	650	600	700

表2：地块面积和计划播种面积限制 （$L_i$代表农产品的播种最大限制，$M_j$代表每个地块的面积最大限制）

	地块1	地块2	地块3	地块4	地块5	地块6	计划播种面积上限
地块面积	42	56	44	39	60	59
小麦							76
玉米							88
蔬菜							40
瓜果							96

然后我们使用线性规划的方法来建模此问题，然后使用求解器工具进行求解。我们可以把线性规划的问题输入求解器的信息转换为：目标、变量、约束。

数学建模

目标：

最大化总收益。

变量：

要安排种植计划，我们这里把每个地块上种不同作物的面积设个未知数，用 $x_{ij}$ 代替。

约束：

由于地块面积不同有限制，计划播种面积也有不同，因此根据未知数可以列出不同未知数的加和是有限制的。
这样，变量和约束就如下表所示。

表3 地块面积 $x_{ij}$ 和约束

	地块1	地块2	地块3	地块4	地块5	地块6	播种计划约束
小麦	$x_{11}$	$x_{12}$	$x_{13}$	$x_{14}$	$x_{15}$	$x_{16}$	$x_{11}+x_{12}+...+x_{16}\le 76$
玉米	$x_{21}$	$x_{22}$	$x_{23}$	$x_{24}$	$x_{25}$	$x_{26}$	$x_{21}+x_{22}+...+x_{26}\le 88$
蔬菜	$x_{31}$	$x_{32}$	$x_{33}$	$x_{34}$	$x_{35}$	$x_{36}$	$x_{31}+x_{32}+...+x_{36}\le 40$
瓜果	$x_{41}$	$x_{42}$	$x_{43}$	$x_{44}$	$x_{45}$	$x_{46}$	$x_{31}+x_{32}+...+x_{36}\le 96$
地块面积约束	$x_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41}\le 42$	$x_{12}+x_{22}+x_{32}+x_{42}\le 56$	$x_{13}+x_{23}+x_{33}+x_{43}\le 44$	$x_{14}+x_{24}+x_{34}+x_{44}\le 39$	$x_{15}+x_{25}+x_{35}+x_{45}\le 60$	$x_{16}+x_{26}+x_{36}+x_{46}\le 59$

目标的计算公式:

此时，我们就可以把目标定为：求 $f(x)$ = sumproduct(收益$C_{ij}$*面积$X_{ij}$) 的最大值，即每个小作物地块对应收益总和的最大值：

$f(X)=[C_{11}\ast x_{11}+C_{12}\ast c_{12}+...+C_{16}\ast x_{26}]+[C_{21}\ast x_{21}+C_{22}\ast x_{22}+...+C_{26}\ast x_{26}]+...+[C_{41}\ast x_{41}+C_{42}\ast x_{42}+...+C_{46}\ast x_{46}]$
$=[500\ast x_{11}+550\ast x_{12}+...+700\ast x_{26}]+[800\ast x_{21}+700\ast x_{22}+...+930\ast x_{26}]+...+[1000\ast x_{41}+960\ast x_{42}+...+700\ast x_{46}]$

即，求解$x_{ij}$取值等于多少，可得到$f(x)$的值最大。

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根据上面的描述，整个问题建模用数学公式表示如下：

代码建模求解

直接采用求解器的API，需要查阅API文档来理解API的意思，没有建模语言可读性高。请参阅 https://solver.damo.alibaba.com/doc/html/API2/py/index.html 来查看PythonAPI的使用说明。
本篇使用的是MindOpt V1.0最新版本，与V0.2x的接口不同
此外根据1.0版本使用了一种新的建模方法：List数据，使用numpy。

此种方式利用了numpy，addMVar添加一个 numpy.ndarray 的Mvar。和用addMVar可以矩阵相乘来快速添加多条约束。
此种方法调试的时候容易出错，比如矩阵的方向、维度等。建议可以先小维度数据，生成.lp文件，查看公式是否正确来校验建模的准确性

代码如下：

from mindoptpy import *
import time
import numpy as np


if __name__ == "__main__":

    # 声明参数和集合

    plant = ["小麦","玉米","蔬菜","瓜果"]
    plant_ub = [76,88,40,96]
    field = ["地块1","地块2","地块3","地块4","地块5","地块6"]
    field_ub = [42, 56, 44, 39, 60, 59]
    profit_plant_field =np.array([
    [500 ,550 ,630 ,1000 ,800 ,700],
    [800 ,700 ,600 ,950 ,90 ,930],
    [1200 ,1040 ,980 ,860 ,880 ,780],
    [1000 ,960 ,840 ,650 ,600 ,700]
    ])
    alt_plant = [1,1,1,1] # for矩阵相乘得到加和
    alt_field = [1,1,1,1,1,1] # for矩阵相乘得到加和

    # Step 1. Create a model and change the parameters.
    model = Model(name = 'LP_1_plant2')

    try:
        # Step 2. Input model.
        # Change to maximize problem.
        model.modelsense =  MDO.MAXIMIZE

        # Add variables.
        #vars = {}
        vars = model.addMVar((len(plant),len(field)), obj=profit_plant_field, vtype='C', name="x")


        # Add constraints.
        #cons = {}
        constrs1 = model.addConstr( alt_plant @ vars <= 0)
        constrs1.rhs =  field_ub
        constrs1.lhs =  0
      
        constrs2 = model.addConstr( vars @ alt_field   <= 0)
        constrs2.rhs = plant_ub
        constrs2.lhs =  0

       
        # Step 3. Solve the problem and populate the result.
        model.optimize()
        time.sleep(1) #for print
      
        model.write("model/plant2.lp") #可以输出文件，观察建模是否正确
        model.write("model/plant2.sol")


        if model.Status == MDO.OPTIMAL:
            print("----\n")
            print(f"目标函数是: {model.objval}")
          
            print("决策变量：")
            x = vars.X
            print(x)
            for p in range(len(plant)):
                for f in range(len(field)):
                    if x[p,f] != 0:
                        print("{0}在{1}的种植面积≈{2:.0f}".format(plant[p],field[f],x[p,f]))
        

        else:
            print("无可行解！求解结束状态是:(code {0}).".format(model.Status))
          
    except MindoptError as e:
        print("Received Mindopt exception.")
        print(" - Code          : {}".format(e.code))
        print(" - Reason        : {}".format(e.message))
    except Exception as e:
        print("Received other exception.")
        print(" - Reason        : {}".format(e))
    finally:
        # Step 4. Free the model.
        model.dispose()

本篇可在云上平台查看运行结果，也可对案例复制调试。