洛谷 P1011 车站 题解（C语言）

洛谷 P1011 车站 题解

题目

[NOIP1998 提高组] 车站

题目描述

火车从始发站（称为第 $1$ 站）开出，在始发站上车的人数为 $a$，然后到达第 $2$ 站，在第 $2$ 站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第 $2$ 站开出时（即在到达第 $3$ 站之前）车上的人数保持为 $a$ 人。从第 $3$ 站起（包括第 $3$ 站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第 $n-1$ 站），都满足此规律。现给出的条件是：共有 $n$ 个车站，始发站上车的人数为 $a$，最后一站下车的人数是 $m$（全部下车）。试问 $x$ 站开出时车上的人数是多少？

输入格式

输入只有一行四个整数，分别表示始发站上车人数 $a$，车站数 $n$，终点站下车人数 $m$ 和所求的站点编号 $x$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案：从 $x$ 站开出时车上的人数。

样例 #1

样例输入 #1

5 7 32 4

样例输出 #1

13

提示

对于全部的测试点，保证 $1\le a\le 20$，$1\le x\le n\le 20$，$1\le m\le 2\times 10^4$。

NOIP1998 提高组 第一题

思路分析

此题本质是一个找规律的数学问题，先列表格对前6站进行分析，便能很轻松找到规律

站名	第一站	第二站	第三站	第四站	第五站	第六站
上车人数	a	k	a+k	a+2k	2a+3k	3a+5k
下车人数	0	k	k	a+k	a+2k	2a+3k
总增加人数	a	0	a	k	a+k	a+2k
车上现有人数	a	a	2a	2a+k	3a+2k	4a+4k

不难发现规律

1、将每一站的上车人数定义为一个数组arr，是一个兔子数列（从第三项起每一项等于前两项之和）

2、而将每一站乘客上下车后车上的现有人数定义为一个数组brr，这个数组也有规律，即：brr[i]=brr[i-1]+arr[i-2]（前一站车上人数，加本站增加人数）

3、arr和brr数组每一项都是有a和k的多项式构成，只是a和k前的系数不一样，那么我们可以分别把a和k拿出来单独研究

arr数组每一项中a的系数(arr_a[])	1	0	1	1	2	3
arr数组每一项中k的系数(arr_k[])	0	1	1	2	3	5
brr数组每一项中a的系数(brr_a[])	1	1	2	2	3	4
brr数组每一项中k的系数(brr_k[])	0	0	0	1	2	4

不难发现规律：

1、arr_a[]和arr_k[]这两个数组都是兔子数列

2、brr_a[i]=brr_a[i-1]+arr_a[i-2]

​ brr_k[i]=brr_k[i-1]+arr_k[i-2]

3、综上可得出公式：brr[i]=brr[i-1]+arr[i-2]=(brr_a[i-1] + arr_a[i-2])*a+(brr_k[i-1] + arr_k[i-2])*k

先将这四个数组初始化

int arr_a[20] = { 0 };//arr每项a的系数
int arr_k[20] = { 0 };//arr每项b的系数
int brr_a[20] = { 0 };//brr每项a的系数
int brr_k[20] = { 0 };//brr每项k的系数
arr_a[0] = 1;
arr_a[1] = 0;
arr_k[0] = 0;
arr_k[1] = 1;
brr_a[0] = 1;
brr_a[1] = 1;
brr_k[0] = 0;
brr_k[1] = 0;
for (i = 2; i <= n - 2; i++)
{
	arr_a[i] = arr_a[i - 1] + arr_a[i - 2];
	arr_k[i] = arr_k[i - 1] + arr_k[i - 2];
	brr_a[i] = brr_a[i - 1] + arr_a[i - 2];
	brr_k[i] = brr_k[i - 1] + arr_k[i - 2];
}

此题突破口：最后一站下车的人数是 m（全部下车）

意味着倒数第二站乘客上下车后车上总人数为m，也就是brr[n-2]=m。

由推导的公式可知**brr[n-2]=brr[n-3]+arr[n-4]=(brr_a[n-3] + arr_a[n-4])a+(brr_k[n-3] + arr_k[n-4])k

a的值已知，便可求出k的值，求出k的值后，变可求出每站上下车后的总人数

求出k的值

int num_a = brr_a[n - 3] + arr_a[n - 4];
int num_k = brr_k[n - 3] + arr_k[n - 4];
k = (m - num_a * a) / num_k;

求出任意x站车上总人数

int num = (brr_a[x - 2] + arr_a[x - 3]) * a + (brr_k[x - 2] + arr_k[x - 3]) * k;

完整代码

#include 
int main()
{
	int a, n, m, x;
	int i, k;
	scanf("%d %d %d %d", &a, &n, &m, &x);
	//第一站上车人数为a，车站数为n，倒数第二站车上总人数为m
	//假设第二站上下车人数相等为k
	//arr数组表示每站上车的人数，brr表示每站上下车后车上的人数
	int arr_a[20] = { 0 };//arr每项a的系数
	int arr_k[20] = { 0 };//arr每项b的系数
	int brr_a[20] = { 0 };//brr每项a的系数
	int brr_k[20] = { 0 };//brr每项k的系数
	arr_a[0] = 1;
	arr_a[1] = 0;
	arr_k[0] = 0;
	arr_k[1] = 1;
	brr_a[0] = 1;
	brr_a[1] = 1;
	brr_k[0] = 0;
	brr_k[1] = 0;
	for (i = 2; i <= n - 2; i++)
	{
		arr_a[i] = arr_a[i - 1] + arr_a[i - 2];
		arr_k[i] = arr_k[i - 1] + arr_k[i - 2];
		brr_a[i] = brr_a[i - 1] + arr_a[i - 2];
		brr_k[i] = brr_k[i - 1] + arr_k[i - 2];
	}
	int num_a = brr_a[n - 3] + arr_a[n - 4];
	int num_k = brr_k[n - 3] + arr_k[n - 4];
	k = (m - num_a * a) / num_k;

	int num = (brr_a[x - 2] + arr_a[x - 3]) * a + (brr_k[x - 2] + arr_k[x - 3]) * k;
	printf("%d", num);
	return 0;
}

附：AC截图