滤波和减采样的互换

[参见《离散时间信号处理》，滤波器和减采样互换。]

初看上去这一节有点难于理解：如果先减采样后滤波，那么在减采样过程中已经混叠了会怎样？还能互换吗？

这个问题的解释如下：

因为H(e^jω)是以2pi为周期的，所以这就暗示H(e^jωM)是以2pi/M为周期的。这样，互换后所使用的滤波器H(e^jωM)将不再是一个简单的低通滤波，而是一个“多通带”的滤波器。于是，从原理上来说互换仍然成立，混叠也同样会发生。

反过来说，如果先设计了一个低通滤波器H(e^jωM)然后减采样，想要简单地互换到先减采样后滤波，那么：

1）滤波器H(e^jω)在理论上就是设计不出来的（尽管能写出它的数学表达式），因为它不以2pi为周期，而是以2pi*M为周期；

2）即使只考虑写出数学表达式而不考虑是否能设计出来，互换也将不再成立，因为互换过程的推导要求H(e^jω)必须以2pi为周期。